Proposizione di funzioni derivabili
sia $f: (a,b) \to RR$ , f derivabile in (a,b) e supponiamo che $AA$ x $in$ (a,b)
la derivata prima di x sia positiva. Come posso dimostrare che la f è crescente per tuto l'intervallo?
la derivata prima di x sia positiva. Come posso dimostrare che la f è crescente per tuto l'intervallo?
Risposte
Beh, è un super-classico. Prova col teorema di Lagrange.
non lo ho ancora fatto..
Allora prova così. Sia $x_0\in(a, b)$. Per ipotesi $f'(x_0)>0$, quindi per il teorema della permanenza del segno c'è tutto un intorno $(x_0-rho, x_0+rho)$ in cui il rapporto incrementale $(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)>0$. Questo significa che $f(x)-f(x_0)$ e $x-x_0$ possono essere o entrambi positivi o entrambi negativi. Presa una $x\in(x_0-rho, x_0+rho)$, distinguiamo i due casi:
1) Per $x>x_0$: $x-x_0$ è positivo e quindi anche $f(x)-f(x_0)$ lo è. Perciò $f(x)>f(x_0)$;
2) Per $x
[edit] qui c'era un errore. A questo punto abbiamo dimostrato quella che qualcuno chiama monotonia locale, dicendo che $f$ è strettamente crescente in $x_0$.
Abbiamo quindi una funzione $f$ che è strettamente crescente in ogni punto di $(a, b)$. Questo implica che $f$ è strettamente crescente in $(a, b)$ ma non mi ricordo perché
... o meglio, non mi ricordo come mostrarlo con strumenti elementari. Vedo un po' e ti faccio sapere.
1) Per $x>x_0$: $x-x_0$ è positivo e quindi anche $f(x)-f(x_0)$ lo è. Perciò $f(x)>f(x_0)$;
2) Per $x
[edit] qui c'era un errore. A questo punto abbiamo dimostrato quella che qualcuno chiama monotonia locale, dicendo che $f$ è strettamente crescente in $x_0$.
Abbiamo quindi una funzione $f$ che è strettamente crescente in ogni punto di $(a, b)$. Questo implica che $f$ è strettamente crescente in $(a, b)$ ma non mi ricordo perché
... o meglio, non mi ricordo come mostrarlo con strumenti elementari. Vedo un po' e ti faccio sapere.
vabbe vale per ogni punto perche x0 puo essere qualsiasi x che appartine all'intervallo giusto?
"valy":
vabbe vale per ogni punto perche x0 puo essere qualsiasi x che appartine all'intervallo giusto?
Aspetta date
1) f è strettamente crescente in ogni punto di (a,b)
2) f è strettamente crescente in (a,b)
1) e 2) sono due cose diverse!!
Poi, c'è un teorema che dimostra che sono equivalenti se il dominio della funzione è un intervallo (come in questo caso). Se volete, posso anche postarla questa dimostrazione ma se finisce buttata lì e non interessa nessuno evito e non perdo tempo... non sono esattamente due righe....
@valy: Si attenzione, Leonardo ha ragione. Il mio post precedente dimostra che $f$ è crescente localmente in ogni punto di $(a, b)$, e c'è ancora qualcosa da fare per arrivare alla tesi. E' molto semplice se uno conosce il concetto di insieme compatto, altrimenti costa un poco di fatica.
In ogni caso, ti segnalo che questo teorema diventa di dimostrazione assolutamente immediata una volta noto il teorema di Lagrange.
In ogni caso, ti segnalo che questo teorema diventa di dimostrazione assolutamente immediata una volta noto il teorema di Lagrange.
"dissonance":
E' molto semplice se uno conosce il concetto di insieme compatto, altrimenti costa un poco di fatica.
Interessante
, me lo ricorderò quando mi rivedrò gli insiemi compatti, il mio libro lo dimostra prima ancora di parlare perfino di successioni e di limiti e, in effetti, costa un po' di fatica.
@Leonardo: Se conosci il concetto di insieme compatto "per ricoprimenti aperti" (apparentemente una cosa astrusa e incomprensibile) e sai che tutti gli intervalli di $RR$ chiusi e limitati sono compatti, di proposizioni come questa fai un solo boccone.
"dissonance":
@Leonardo: Se conosci il concetto di insieme compatto "per ricoprimenti aperti" (apparentemente una cosa astrusa e incomprensibile) e sai che tutti gli intervalli di $RR$ chiusi e limitati sono compatti, di proposizioni come questa fai un solo boccone.
Per quanto riguarda la 1° cosa conoscevo solo il concetto di insieme sequenzialmente compatto ed, in effetti, mi sembrava un po' strano che mi potesse aiutare in questo caso. Adesso ho controllato sul mio libro di analisi, ho trovato anche l'altra definizione di insieme compatto e mi sembra che la cosa abbia un senso.
Per quanto riguarda la 2° cosa invece la conoscevo.
Comunque mi sono appuntato il tutto e quando mi rivedrò i compatti in R (o, in caso, quando li studierò in uno spazio topologico di Hausdorff, dato che il mio libro li tratta in modo molto più generale) proverò a dimostrare questa proposizione.
Ciao e grazie
Leonardo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo