Proporzione tra due variabili per massimizzare la funzione
Salve a tutti,
sono alle prese con un problema di Analisi 2 che mi lascia molto confusa (in primis perché mi sembra più cosa da Ricerca Operativa che non da Analisi).
Il testo è:
"Un fruttivendolo ha venduto pere e albicocche al prezzo in euro di $ p^2a - 3pa + p $, dove $p$ e $a$ sono il peso in tonnellate di pere e albicocche. Supponiamo che il fruttivendolo abbia già venduto 4 tonnellate di pere e 3 di albicocche. Qual è la proporzione (o la percentuale) di pere e albicocche che il fruttivendolo dovrà vendere ora per massimizzare il guadagno?"
Nella mia ignoranza, come primo tentativo di risoluzione ho cercato le derivate parziali in p ed in a, mettendole poi in un sistema uguagliate a 0, supponendo così di trovare i punti critici del grafico della funzione, e verificare poi se erano di massimo; idea che poi ho realizzato non potesse portarmi alla soluzione, dato che (sempre che fosse corretto) può darmi un massimo assoluto, ma non una proporzione tra le due variabili.
(Realizzazione adiuvata dal fatto che mi venivano risultati poco plausibili come $ p=0, a=-1/3 $ )
Inoltre non mi era (è) chiaro come inserire il dato relativo alle quantità già vendute.
Ho poi supposto che quei dati mi servano per limitare il dominio nel quale cercare la soluzione: qualsiasi massimo con $p<4$ o $a<3$ non potrà essere considerato.
Anche arrivata a questo, però, non capisco come procedere per trovare quella che suppongo sarà... una funzione?
Ho provato anche a far disegnare un grafico a WolphramAlpha (sotto) per vedere se ne capivo qualcosa di più almeno a intuito... ma rimango confusa su come procedere.
Se qualcuno potesse darmi qualche dritta su come approcciare l'esercizio in modo sensato, gliene sarei molto grata.
Grazie in ogni caso a chi si prendesse la briga di leggere tutto.
sono alle prese con un problema di Analisi 2 che mi lascia molto confusa (in primis perché mi sembra più cosa da Ricerca Operativa che non da Analisi).
Il testo è:
"Un fruttivendolo ha venduto pere e albicocche al prezzo in euro di $ p^2a - 3pa + p $, dove $p$ e $a$ sono il peso in tonnellate di pere e albicocche. Supponiamo che il fruttivendolo abbia già venduto 4 tonnellate di pere e 3 di albicocche. Qual è la proporzione (o la percentuale) di pere e albicocche che il fruttivendolo dovrà vendere ora per massimizzare il guadagno?"
Nella mia ignoranza, come primo tentativo di risoluzione ho cercato le derivate parziali in p ed in a, mettendole poi in un sistema uguagliate a 0, supponendo così di trovare i punti critici del grafico della funzione, e verificare poi se erano di massimo; idea che poi ho realizzato non potesse portarmi alla soluzione, dato che (sempre che fosse corretto) può darmi un massimo assoluto, ma non una proporzione tra le due variabili.
(Realizzazione adiuvata dal fatto che mi venivano risultati poco plausibili come $ p=0, a=-1/3 $ )
Inoltre non mi era (è) chiaro come inserire il dato relativo alle quantità già vendute.
Ho poi supposto che quei dati mi servano per limitare il dominio nel quale cercare la soluzione: qualsiasi massimo con $p<4$ o $a<3$ non potrà essere considerato.
Anche arrivata a questo, però, non capisco come procedere per trovare quella che suppongo sarà... una funzione?
Ho provato anche a far disegnare un grafico a WolphramAlpha (sotto) per vedere se ne capivo qualcosa di più almeno a intuito... ma rimango confusa su come procedere.
Se qualcuno potesse darmi qualche dritta su come approcciare l'esercizio in modo sensato, gliene sarei molto grata.
Grazie in ogni caso a chi si prendesse la briga di leggere tutto.
Risposte
Forse ho capito cosa mi mancava...
ho scoperto le meraviglie del significato geometrico di gradiente. (Magari sto ancora cannando in pieno, ma spero che qualcuno saprà confermare o dirmi dove sbaglio)
Se il gradiente mi dà la direzione in cui, da un certo punto, la funzione ha pendenza massima, suppongo che la mia soluzione consista nel gradiente della funzione nel punto $(4;3)$.
Sfruttando questo ragionamento ottengo
$ \nabla (p^2a-3pa+p) (4;3) $ = $( \partial f)/( \partial p) (4;3)$ , $ ( \partial f)/( \partial a) (4;3)$
che mi dà come risultato $(16;4)$.
Quindi... mi rimane solo da capire come tirare fuori una proporzione sensata da questo vettore.
(Probabilmente mi sto incartando sulla parte più semplice ora.)
ho scoperto le meraviglie del significato geometrico di gradiente. (Magari sto ancora cannando in pieno, ma spero che qualcuno saprà confermare o dirmi dove sbaglio)
Se il gradiente mi dà la direzione in cui, da un certo punto, la funzione ha pendenza massima, suppongo che la mia soluzione consista nel gradiente della funzione nel punto $(4;3)$.
Sfruttando questo ragionamento ottengo
$ \nabla (p^2a-3pa+p) (4;3) $ = $( \partial f)/( \partial p) (4;3)$ , $ ( \partial f)/( \partial a) (4;3)$
che mi dà come risultato $(16;4)$.
Quindi... mi rimane solo da capire come tirare fuori una proporzione sensata da questo vettore.
(Probabilmente mi sto incartando sulla parte più semplice ora.)
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