Prolungare con continuità una funzione
$ f(x) = (x^2 - x)log(x^2 - x) $
so che la funzione è discontinua in 0 e in 1,ma se faccio il limite destro e sinistro di entrambi la funzione in realtà è continua.L'esercizio che sto facendo mi chiede:
Dopo aver prolungato con continuità la funzione f in 0 ed in 1,la f è derivabile in 0? E' derivabile in 1?
Che cosa dovrei fare? basta scrivere
$ F(x) = {(f(x) ,"se x appartiene al dominio di f"),(0 ,"se x=1 o x=0"):} $
dopo?
Mi basta fare limite destro e sinistro di 1 e 0 della derivata di f?
EDIT: il limite destro di 0 e quello sinistro di 1 non esistono,quindi ciò che ho scritto qui sopra non può essere corretto
so che la funzione è discontinua in 0 e in 1,ma se faccio il limite destro e sinistro di entrambi la funzione in realtà è continua.L'esercizio che sto facendo mi chiede:
Dopo aver prolungato con continuità la funzione f in 0 ed in 1,la f è derivabile in 0? E' derivabile in 1?
Che cosa dovrei fare? basta scrivere
$ F(x) = {(f(x) ,"se x appartiene al dominio di f"),(0 ,"se x=1 o x=0"):} $
dopo?
Mi basta fare limite destro e sinistro di 1 e 0 della derivata di f?
EDIT: il limite destro di 0 e quello sinistro di 1 non esistono,quindi ciò che ho scritto qui sopra non può essere corretto
Risposte
limite destro e sinistro di $f'$ oppure usare la definizione di derivata (limite del rapporto incrementale)
Per prima cosa il dominio della f(x) e' l'insieme dei valori di x per cui e' $x^{2}-x >0$, vale a dire $x>1$ e $x<0$. Per rilevare se la funzione prolungata in 0 e 1 e' derivabile in quei punti e' suffciente il calcolo della derivata secondo il metodo 'standard'...
$\frac{d}{d x} f(x)= (2 x -1)\ \{1+ \ln (x^{2}-x)\}$ (1)
Che cosa succede della (1) in x=0 e x=1?...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\frac{d}{d x} f(x)= (2 x -1)\ \{1+ \ln (x^{2}-x)\}$ (1)
Che cosa succede della (1) in x=0 e x=1?...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
non mi torna una cosa,facendo il limite sinistro di 1 e quello destro di 0 con wolfram alpha,il limite mi viene fuori corretto,se li faccio a mano mi viene $0^-$ nel logaritmo e quindi non posso continuare,dove sbaglio?
"Andrew Ryan":
non mi torna una cosa,facendo il limite sinistro di 1 e quello destro di 0 con wolfram alpha,il limite mi viene fuori corretto,se li faccio a mano mi viene $0^-$ nel logaritmo e quindi non posso continuare,dove sbaglio?
Devi esserti confuso: $lim_(x->1^-)$ e $lim_(x->0^+)$ non esistono (la funzione non è definita per $0
Semmai dovrebbe venirti $ln(0^+)$ ($ln(0^-)$ è impossibile).
PS: lascia perdere WolframAlpha: spesso e volentieri esce di testa
"Brancaleone":
[quote="Andrew Ryan"]non mi torna una cosa,facendo il limite sinistro di 1 e quello destro di 0 con wolfram alpha,il limite mi viene fuori corretto,se li faccio a mano mi viene $0^-$ nel logaritmo e quindi non posso continuare,dove sbaglio?
Devi esserti confuso: $lim_(x->1^-)$ e $lim_(x->0^+)$ non esistono (la funzione non è definita per $0
Semmai dovrebbe venirti $ln(0^+)$ ($ln(0^-)$ è impossibile).
PS: lascia perdere WolframAlpha: spesso e volentieri esce di testa
[/quote]E allora con ciò che mi hai detto è sbagliato anche ciò che ho scritto nel primo post,allora come diamine si fa a prolungare la funzione in 1 e in 0? 
"Andrew Ryan":
E allora con ciò che mi hai detto è sbagliato anche ciò che ho scritto nel primo post,allora come diamine si fa a prolungare la funzione in 1 e in 0?
No, non è sbagliato.
Hai prolungato per continuità $f(x)$, facendo
$lim_(x->0^-) f(x)=0$
$lim_(x->1^+) f(x)=0$
e quindi la tua"nuova" funzione è diventata
$F(x)={ ( f(x) text( per ) x<0 cup x>1),( 0 text( per ) x=0),(0 text( per ) x=1) :}$
$F(x)$ è a tutti gli effetti continua in $(-oo,0] cup [1,+oo)$
A questo punto calcolando i limiti della derivata trovi che...
"Brancaleone":
[quote="Andrew Ryan"]E allora con ciò che mi hai detto è sbagliato anche ciò che ho scritto nel primo post,allora come diamine si fa a prolungare la funzione in 1 e in 0?
No, non è sbagliato.
Hai prolungato per continuità $f(x)$, facendo
$lim_(x->0^-) f(x)=0$
$lim_(x->1^+) f(x)=0$
e quindi la tua"nuova" funzione è diventata
$g(x)={ ( f(x) text( per ) x<0 cup x>1),( 0 text( per ) x=0),(0 text( per ) x=1) :}$
A questo punto calcolando i limiti della derivata trovi che...[/quote]nono,hai frainteso,quei limiti sono stati calcolati con wolfram alpha,quindi ad esempio $lim_(x->1^-) f(x)$ non esiste,quindi $f(x)$ con x=1 è indefinita,stesso discorso vale per 0 di cui esiste solo il limite sinsitro e non quello destro
"Andrew Ryan":
nono,hai frainteso,quei limiti sono stati calcolati con wolfram alpha,quindi ad esempio $lim_(x->1^-) f(x)$ non esiste
Sì questo lo sappiamo - anche senza WA...
"Andrew Ryan":
quindi $f(x)$ con x=1 è indefinita,stesso discorso vale per 0 di cui esiste solo il limite sinsitro e non quello destro
$f(x)$ in $x_0=0$ e $x_1=1$ è indefinita non perché non esiste il limite destro/sinistro, ma perché tali punti non fanno parte del suo dominio.
Basati su $F(x)$, lascia stare $f(x)$ - non per niente ti viene detto che prima devi controllare la continuità in quei punti.
"Brancaleone":
[quote="Andrew Ryan"]nono,hai frainteso,quei limiti sono stati calcolati con wolfram alpha,quindi ad esempio $lim_(x->1^-) f(x)$ non esiste
Sì questo lo sappiamo - anche senza WA...
"Andrew Ryan":
quindi $f(x)$ con x=1 è indefinita,stesso discorso vale per 0 di cui esiste solo il limite sinsitro e non quello destro
$f(x)$ in $x_0=0$ e $x_1=1$ è indefinita non perché non esiste il limite destro/sinistro, ma perché tali punti non fanno parte del suo dominio.
Basati su $F(x)$, lascia stare $f(x)$ - non per niente ti viene detto che prima devi controllare la continuità in quei punti.[/quote]XD stiamo facendo confusione,tutto ciò che ho scritto nel primo post è frutto di miei calcoli che avevo fatto con WA,ho scritto che f(x) è continua in 1 e in 0 perchè i limiti destro e sinistro corrispondevano,ma ciò non è vero,perchè provando a fare manualmente limite destro di 0 e limiti sinistro di 1,i limiti non esistono,quindi f(x) non può essere continua in 1 e in 0 a prescindere dal dominio,e allora mi chiedo come si possa prolungare la funzione,è lecita la risposta: "non è possibile prolungarla" ? mi sembra che vada in contrasto con la richiesta dell'esercizio,però magari ho ragione,potrebbe essere un esercizio a trabocchetto
$f(x)=(x^2-x)ln(x^2-x)$ definita in $x<0 cup x>1$
$lim_(x->0^-) (x^2-x)ln(x^2-x)$ \(\displaystyle \sim \) $-xln(-x)=0$
$lim_(x->1^+) (x^2-x)ln(x^2-x)$ \(\displaystyle \sim \) $(x-1)ln(x-1)=0$
Creo una nuova funzione $F(x)$, che è la $f(x)$ prolungata per continuità in questi punti:
$F(x)={ ( f(x) text( per ) x<0 cup x>1),( 0 text( per ) x=0),(0 text( per ) x=1) :}$ definita quindi in $x<=0 cup x>=1$
Allora:
$F'(x)=(2x-1)ln(x^2-x)+1/(x^2-x)(2x-1)(x^2-x)=(2x-1)[ln(x^2-x)+1]$
Controllo se è derivabile in $x_0=0$:
$lim_(x->0^-)(2x-1)[ln(x^2-x)+1]$ \(\displaystyle \sim \) $ -[ln(x)+1]=+oo$
Controllo se è derivabile in $x_1=1$:
$lim_(x->1^+)(2x-1)[ln(x^2-x)+1]$ \(\displaystyle \sim \) $ [ln(x-1)+1]=-oo$
$f(x)$ prolungata per continuità in $x_0=0$ e $x_1=1$ non è derivabile in tali punti.
$lim_(x->0^-) (x^2-x)ln(x^2-x)$ \(\displaystyle \sim \) $-xln(-x)=0$
$lim_(x->1^+) (x^2-x)ln(x^2-x)$ \(\displaystyle \sim \) $(x-1)ln(x-1)=0$
Creo una nuova funzione $F(x)$, che è la $f(x)$ prolungata per continuità in questi punti:
$F(x)={ ( f(x) text( per ) x<0 cup x>1),( 0 text( per ) x=0),(0 text( per ) x=1) :}$ definita quindi in $x<=0 cup x>=1$
Allora:
$F'(x)=(2x-1)ln(x^2-x)+1/(x^2-x)(2x-1)(x^2-x)=(2x-1)[ln(x^2-x)+1]$
Controllo se è derivabile in $x_0=0$:
$lim_(x->0^-)(2x-1)[ln(x^2-x)+1]$ \(\displaystyle \sim \) $ -[ln(x)+1]=+oo$
Controllo se è derivabile in $x_1=1$:
$lim_(x->1^+)(2x-1)[ln(x^2-x)+1]$ \(\displaystyle \sim \) $ [ln(x-1)+1]=-oo$
$f(x)$ prolungata per continuità in $x_0=0$ e $x_1=1$ non è derivabile in tali punti.
"Brancaleone":Se invece gli ultimi due limiti erano entrambi $+infty$ o $-infty$ allora la funzione prolungata era derivabile in quei punti? Comunque ora penso di aver capito
$f(x)=(x^2-x)ln(x^2-x)$ definita in $x<0 cup x>1$
$lim_(x->0^-) (x^2-x)ln(x^2-x)$ \(\displaystyle \sim \) $-xln(-x)=0$
$lim_(x->1^+) (x^2-x)ln(x^2-x)$ \(\displaystyle \sim \) $(x-1)ln(x-1)=0$
Creo una nuova funzione $F(x)$, che è la $f(x)$ prolungata per continuità in questi punti:
$F(x)={ ( f(x) text( per ) x<0 cup x>1),( 0 text( per ) x=0),(0 text( per ) x=1) :}$ definita quindi in $x<=0 cup x>=1$
Allora:
$F'(x)=(2x-1)ln(x^2-x)+1/(x^2-x)(2x-1)(x^2-x)=(2x-1)[ln(x^2-x)+1]$
Controllo se è derivabile in $x_0=0$:
$lim_(x->0^-)(2x-1)[ln(x^2-x)+1]$ \(\displaystyle \sim \) $ -[ln(x)+1]=+oo$
Controllo se è derivabile in $x_1=1$:
$lim_(x->1^+)(2x-1)[ln(x^2-x)+1]$ \(\displaystyle \sim \) $ [ln(x-1)+1]=-oo$
$f(x)$ prolungata per continuità in $x_0=0$ e $x_1=1$ non è derivabile in tali punti.
Forse ho capito il tuo problema...
$f(x)=(x^2-x)log(x^2-x)$
Il dominio di $f$ è chiaramente $(-oo,0)\cup(1,+oo)$
Adesso bisogna soltanto vedere se $f$ si può estendere per continuità in $0$.. in questo caso però soltanto $0^-$ è punto di accumulazione per il dominio di $f$, mentre se prendi $0^+$ non ci sei più, quindi ha poco senso calcolare il limite...
Stesso discorso vale per $1$...
Anche $g(x)=sqrt(x)$... secondo il tuo ragionamento non dovrebbe essere continua in $0$, perché non possiamo calcolare $lim_(x->0^-) sqrt(x)$, eppure come ben sai è ivi continua
$f(x)=(x^2-x)log(x^2-x)$
Il dominio di $f$ è chiaramente $(-oo,0)\cup(1,+oo)$
Adesso bisogna soltanto vedere se $f$ si può estendere per continuità in $0$.. in questo caso però soltanto $0^-$ è punto di accumulazione per il dominio di $f$, mentre se prendi $0^+$ non ci sei più, quindi ha poco senso calcolare il limite...
Stesso discorso vale per $1$...
Anche $g(x)=sqrt(x)$... secondo il tuo ragionamento non dovrebbe essere continua in $0$, perché non possiamo calcolare $lim_(x->0^-) sqrt(x)$, eppure come ben sai è ivi continua
"Andrew Ryan":
Se invece gli ultimi due limiti erano entrambi $+infty$ o $-infty$ allora la funzione prolungata era derivabile in quei punti?
No...
"Brancaleone":
[quote="Andrew Ryan"]Se invece gli ultimi due limiti erano entrambi $+infty$ o $-infty$ allora la funzione prolungata era derivabile in quei punti?
No...[/quote]e allora continuo a non capire...per essere derivabile quindi i limiti dovevano essere finiti e uguali a f'(x) seguendo la regola di sempre?:
$lim_(x->c)f(x) = f(x)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo