Prolungamento soluzione equazione differenziale
Ciao potete aiutarmi a capire questa dimostrazione?
TEO: considerato il probema $x'(t)=f(x,t)$ con $f\inA\subR\timesR^n\to R^n$data una soluzione $x:(t_-,t_+)\toR^N$ se esiste una successione ${t_k}$ che tende crescendo a $t_+$, $x(t_k)$ tende a $x_+$ e $(T+,x+)\inA$ allora x è prolungabile a destra
la dimostrazione costruisce il prolungamento 'a mano': preso $t_k$ la nuova soluzione $\barx$ è definita come $x$ se $t\in(t_-,t_k]$ e $x_0$ per $t\in(t_k,t_k+\tau)$ dove $x_0$ è la soluzione del problema di cauchy con valore iniziale $(t_k,x(t_k))$
Non mi è chiaro perche $t_k+\tau>t_+$
TEO: considerato il probema $x'(t)=f(x,t)$ con $f\inA\subR\timesR^n\to R^n$data una soluzione $x:(t_-,t_+)\toR^N$ se esiste una successione ${t_k}$ che tende crescendo a $t_+$, $x(t_k)$ tende a $x_+$ e $(T+,x+)\inA$ allora x è prolungabile a destra
la dimostrazione costruisce il prolungamento 'a mano': preso $t_k$ la nuova soluzione $\barx$ è definita come $x$ se $t\in(t_-,t_k]$ e $x_0$ per $t\in(t_k,t_k+\tau)$ dove $x_0$ è la soluzione del problema di cauchy con valore iniziale $(t_k,x(t_k))$
Non mi è chiaro perche $t_k+\tau>t_+$
Risposte
Non penso sia vero per ogni \(k\). Questo è vero per \(k\) sufficientemente grande, visto che \(t_k\to t_+\). Tu poi non lo hai scritto, ma \(\tau\) è sicuramente un valore fissato, indipendente da \(k\).
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