Prolungamento periodico, serie di fourier, convergenza

[gost93]

Ciao ragazzi, vi espongo un esercizio che ho svolto ma che non so se è corretto.

Dire se il prolungamento dispari $2\pi$ periodico ad R della funzione:
$f(x)=x(\pi-x)$ per $0<=x<=\pi$
ammette lo sviluppo in serie di Fourier e verificarne la convergenza puntuale, uniforme e in L2.

Il prolungamento dispari lo ho scritto così:
$f(x)=x(\pi-x)$ per $0<=x<=\pi$
$f(x)=x(\pi+x)$ per $-\pi<=x<0$

La funzione ottenuta è continua in $[-\pi,\pi]$, risulta integrabile quindi ammette lo sviluppo in serie di Fourier.

Convergenza puntuale:
$f(x)$ è $2\pi$ periodica, regolare a tratti in R quindi converge puntualemente.

Convergenza uniforme:
$f(x)$ converge puntualmente ed e continua in R, quindi converge uniformemente.

Convergenza in L2 (sarebbe la convergenza in media quadratica, giusto?)
$f(x)$ è periodica, generalmente continua, ed è di quadrato sommabile in quanto
$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx=\int_{-\pi}^{0} x^2(\pi+x)^2 dx + \int_{0}^{\pi} x^2(\pi-x)^2 dx= \pi^5/15$ cioè converge, quindi converge in L2.

E' giusto l'esercizio? La convergenza in media quadratica e in L2 sono la stessa cosa?

[gost93]

Raga nessuno che può aiutarmi?