Prolungamento per continuità funzione in 2 variabili
Salve a tutti, vi riporto un esercizio che mi ha creato qualche problema "interpretativo", lo cito testualmente :
" Sia
$ f(x,y)={x^3-y^3} /{x^2-y^2} $ .
1) Dove è continua f?
2) In quali punti può essere estesa per continuità?
3) Può essere estesa nell'origine in modo ale che le sue derivate prime esistano nell'origine?"
Io ho proceduto così:
1) F è continua sul suo dominio che è
$ D={(x,y)in RR^2 t.c. x!= +-y, (x,y)!= (0,0)} $
2) le uniche regioni potenzialmente "ineducate" sono le 2 bisettrici e l'origine. Vado con ordine :
Ho una forma indeterminata. Scompongo quindi denominatore e numeratore ottenendo : $ lim_{(x,y)rarr (x_0,x_0)} {(x-y) (x^2+xy+y^2)} /{(x-y) (x+y)} $ e semplificando i fattori comuni ottengo $ lim_{(x,y)rarr (x_0,x_0)} [...] =3/2x_0 $ .
Qui sorge il mio primo dubbio
osso semplificare quel fattore comune anche se, nel limite che sto effettuando, quel fattore va a 0? Penso sia lecito, ma chiedo comunque a voi che siete infinitamente più competenti di me 
.
Mediante il medesimo procedimento ottengo che $ lim_{(x,y) rarr (x_0,-x_0)} f(x,y)$ non esiste
Il che teoricamente dimostrerebbe che f(x,y) è prolungabile lungo la retta x=y ma non sulla retta x=-y.
3) Andando a ricevimento il professore mi disse di calcolare le derivate prime nell'origine, dicendomi di ragionarci sopra. Io banalmente ho provato a verificare se il limite di f(x,y) nell'origine esiste, e dai miei calcoli sembrerebbe proprio di no
.
Pasando in coordinate polari ponendo $ x=rhocos theta $ , $ y=rhosintheta $
ottengo : $ lim_{rho rarr 0} rho (cos^3theta-sin^3theta) /{cos^2theta-sin^2theta} $ . Il fatto che questo limite non esista non implica necessariamente che la funzione non possa essere in alcun modo prolungata nell'origine? La domanda relativa all'esistenza delle derivate prima é superflua? O forse il testo chiedeva di prolungare le derivate e non la funzione di partenza?
Aggiungo di non aver capito benissimo il concetto di prolungamento per continuità, poiché il mio libro, Il Marcellini Sbordone secondo volume, accenna l'argomento rapidamente parlando soltanto di prolungamenti di derivate parziali in punti di frontiera . Non ho nemmeno ben capito perché ( giustamente si, ma non mi è chiarissimo) dovrei capire a priori che l'origine vada trattata come caso a sè, sebbene faccia parte di entrambe le bisettrici. In poche parole sono straconfuso XD. Ringrazio di cuore chiunque butterà un po' del suo tempo per aiutarmi
" Sia
$ f(x,y)={x^3-y^3} /{x^2-y^2} $ .
1) Dove è continua f?
2) In quali punti può essere estesa per continuità?
3) Può essere estesa nell'origine in modo ale che le sue derivate prime esistano nell'origine?"
Io ho proceduto così:
1) F è continua sul suo dominio che è
$ D={(x,y)in RR^2 t.c. x!= +-y, (x,y)!= (0,0)} $
2) le uniche regioni potenzialmente "ineducate" sono le 2 bisettrici e l'origine. Vado con ordine :
Ho una forma indeterminata. Scompongo quindi denominatore e numeratore ottenendo : $ lim_{(x,y)rarr (x_0,x_0)} {(x-y) (x^2+xy+y^2)} /{(x-y) (x+y)} $ e semplificando i fattori comuni ottengo $ lim_{(x,y)rarr (x_0,x_0)} [...] =3/2x_0 $ .
Qui sorge il mio primo dubbio
osso semplificare quel fattore comune anche se, nel limite che sto effettuando, quel fattore va a 0? Penso sia lecito, ma chiedo comunque a voi che siete infinitamente più competenti di me .Mediante il medesimo procedimento ottengo che $ lim_{(x,y) rarr (x_0,-x_0)} f(x,y)$ non esiste
Il che teoricamente dimostrerebbe che f(x,y) è prolungabile lungo la retta x=y ma non sulla retta x=-y.
3) Andando a ricevimento il professore mi disse di calcolare le derivate prime nell'origine, dicendomi di ragionarci sopra. Io banalmente ho provato a verificare se il limite di f(x,y) nell'origine esiste, e dai miei calcoli sembrerebbe proprio di no
.Pasando in coordinate polari ponendo $ x=rhocos theta $ , $ y=rhosintheta $
ottengo : $ lim_{rho rarr 0} rho (cos^3theta-sin^3theta) /{cos^2theta-sin^2theta} $ . Il fatto che questo limite non esista non implica necessariamente che la funzione non possa essere in alcun modo prolungata nell'origine? La domanda relativa all'esistenza delle derivate prima é superflua? O forse il testo chiedeva di prolungare le derivate e non la funzione di partenza?
Aggiungo di non aver capito benissimo il concetto di prolungamento per continuità, poiché il mio libro, Il Marcellini Sbordone secondo volume, accenna l'argomento rapidamente parlando soltanto di prolungamenti di derivate parziali in punti di frontiera . Non ho nemmeno ben capito perché ( giustamente si, ma non mi è chiarissimo) dovrei capire a priori che l'origine vada trattata come caso a sè, sebbene faccia parte di entrambe le bisettrici. In poche parole sono straconfuso XD. Ringrazio di cuore chiunque butterà un po' del suo tempo per aiutarmi
Risposte
Nessuna idea?
Non ho guardato i conti, ma se la funzione non è nemmeno definita nell'origine, non possono esistere le derivate.
singularity infatti io la vedo come te, ma purtroppo non riesco a capire per bene cosa significhi" prolungare una funzione in un punto". Detto "terra terra", io verifico che il limite della funzione in quel punto " maleducato" esista e sia finito, in quel caso la funzione è prolungabile con continuità. Potrei aver però capito male 
è corretto il modo in cui ho proceduto?
Chiedo scusa per la pesantezza, ma vi prego gentilmente di aiutarmi. Non capisco se i problemi che posto siano troppo banali per ricevere risposta, poiché spesso vedo post di un'ora prima con 10 risposte mentre i miei vengono letti e ignorati
"GIOWRE92":
3) Può essere estesa nell'origine ...
Se si interpreta la consegna letteralmente, come è giusto fare, si dovrebbe accontentare di poter calcolare il limite del rapporto incrementale nell'origine restringendosi prima all'asse x e poi all'asse y. In questo caso, dato che:
$[lim_(x->0)f(x,0)=lim_(x->0)x^3/x^2=0] ^^ [lim_(y->0)f(0,y)=lim_(x->0)y^3/y^2=0]$
è necessario definire nulla la funzione nell'origine. Dopo di che, non dovrebbe presentare difficoltà insormontabili dimostrare che entrambe le derivate parziali prime esistono e valgono 1.
Scusa, è da un po' che segue l'argomento, e purtroppo non sono riuscito a trovare una soluzione soddisfacente, ed è questo il motivo per cui ho ritardato la mia risposta.
No il motivo per cui questo thread viene ignorato è perché è troppo difficile.
In particolare è difficile il limite
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}
$$
Il sospetto è che tale limite sia nullo, il problema è che non è per niente banale da dimostrare (per inciso wolfram non lo sa calcolare).
Detto ciò una volta che si sappia calcolare questo limite la richiesta dell'esercizio è molto semplice.
E in ogni caso l'unico vero problema è quel limite per il resto il procedimento corretto è il seguente:
1) la funzione è continua in $D={(x,y)\in R^2 : x^2 \ne y^2}$
2) la funzione è prolungabile sicuramente in tutti i punti del tipo $(x,x)$ ad eccezione FORSE di $(0,0)$.
Questo perché $f=\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$ il cui limite in $(x,x)$ fa $\frac{3}{2}x$ per $x\ne 0$ ; mentre fissato $x=k$ con $k\ne 0$ risolvendo il limite di una variabile $$\lim_{y\to -k^+}\frac{k^2+ky+y^2}{k+y}=+\infty$$ quindi il limite in $(x,-x)$ con $x\ne 0$ non esiste finito, in realtà non esiste proprio per dimostralo basta risolvere il limite di prima per $y \to -k^-$ e vedere che fa $-\infty$ ; poichè nei punti $(x,-x)$ con $x\ne 0$ il limite di $f$ non esiste finito allora in tali punti non possiamo prolungare $f$ con continuità.
L'origine per il momento è un mistero, se avrò un illuminazione te la comunicherò.
L'unica cosa certa per ora è che se il limite esiste allora è per forza zero, infatti per verificarlo basta porre ad esempio $y=0$ e risolvere il limite per $x\to 0$.
Per il momento possiamo sicuramente definire il prolungamento con continuità di $f$ come
$$
\bar f=\begin{cases} f(x,y) \,& \text{if} \,\, x^2\ne y^2 \\ \frac{3}{2}x \,& \text{if} \,\, y=x \, \wedge (x,y) \ne (0,0) \end{cases}
$$
3) Questo punto in realtà lo possiamo risolvere indipendentemente dal sapere se la funzione è prolungabile con continuità nell'origine questo perché per funzioni di più variabili l'esistenza delle derivate in un punto NON IMPLICA la continuità della funzione in quel punto!(a differenza di quanto succedeva con le funzioni di una variabile)
Tuttavia se riuscissimo ad estendere la funzione nell'origine in modo che non solo le derivate esistono, ma sono anche continue allora avremmo dimostrato che la funzione prolungata è differenziabile il che implicherebbe la prolungabilità con continuità di $f$ anche nell'origine. Tuttavia questo in generale è più difficile da dimostrare rispetto al limite della sola continuità quindi non ci speriamo molto.
Come lo risolviamo??
Abbiamo due vie: a) calcoliamo le derivate parziali con le regole del calcolo e ne facciamo il limite in $(0,0)$ che però è un limite in due variabili quindi questa è la strada più difficile.
b) calcoliamo il limite con la definizione di derivata parziale. Questa è la strada più semplice perché è un limite in una variabile, il ""problema"" è che dobbiamo estendere la funzione in $(0,0)$.
scegliamo ovviamente la strada b).
Beh prima di partire con la fantasia e prolungare $f$ con un numero a caso, è sensato prolungare $f$ in questo modo $\bar{f} (0,0)=0$ questo perché anche se non siamo riusciti a dimostrare che il limite in $(0,0)$ di $f$ esiste, sappiamo per certo che se esiste è zero.
Abbiamo quindi che
$$
\bar f_x(0,0)=\lim_{x\to 0} \frac{\bar f(x,0)-\bar f(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^3-0}{x^2-0}-0}{x}=1
$$
e
$$
\bar f_y(0,0)=\lim_{y\to 0} \frac{\bar f(0,y)-\bar f(0,0)}{y}=\lim_{y\to 0} \frac{\frac{0-y^3}{0-y^2}-0}{y}=1
$$
Quindi la funzione
$$
\bar f=\begin{cases} f(x,y) \,& \text{if} \,\, x^2\ne y^2 \\ \frac{3}{2}x \,& \text{if} \,\, y=x \end{cases}
$$
anche se non sappiamo se è continua nell'origine, di sicuro è derivabile nell'origine.
"GIOWRE92":
:cry: Chiedo scusa per la pesantezza, ma vi prego gentilmente di aiutarmi. Non capisco se i problemi che posto siano troppo banali per ricevere risposta, poiché spesso vedo post di un'ora prima con 10 risposte mentre i miei vengono letti e ignorati
No il motivo per cui questo thread viene ignorato è perché è troppo difficile.
In particolare è difficile il limite
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}
$$
Il sospetto è che tale limite sia nullo, il problema è che non è per niente banale da dimostrare (per inciso wolfram non lo sa calcolare).
Detto ciò una volta che si sappia calcolare questo limite la richiesta dell'esercizio è molto semplice.
E in ogni caso l'unico vero problema è quel limite per il resto il procedimento corretto è il seguente:
1) la funzione è continua in $D={(x,y)\in R^2 : x^2 \ne y^2}$
2) la funzione è prolungabile sicuramente in tutti i punti del tipo $(x,x)$ ad eccezione FORSE di $(0,0)$.
Questo perché $f=\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$ il cui limite in $(x,x)$ fa $\frac{3}{2}x$ per $x\ne 0$ ; mentre fissato $x=k$ con $k\ne 0$ risolvendo il limite di una variabile $$\lim_{y\to -k^+}\frac{k^2+ky+y^2}{k+y}=+\infty$$ quindi il limite in $(x,-x)$ con $x\ne 0$ non esiste finito, in realtà non esiste proprio per dimostralo basta risolvere il limite di prima per $y \to -k^-$ e vedere che fa $-\infty$ ; poichè nei punti $(x,-x)$ con $x\ne 0$ il limite di $f$ non esiste finito allora in tali punti non possiamo prolungare $f$ con continuità.
L'origine per il momento è un mistero, se avrò un illuminazione te la comunicherò.
L'unica cosa certa per ora è che se il limite esiste allora è per forza zero, infatti per verificarlo basta porre ad esempio $y=0$ e risolvere il limite per $x\to 0$.
Per il momento possiamo sicuramente definire il prolungamento con continuità di $f$ come
$$
\bar f=\begin{cases} f(x,y) \,& \text{if} \,\, x^2\ne y^2 \\ \frac{3}{2}x \,& \text{if} \,\, y=x \, \wedge (x,y) \ne (0,0) \end{cases}
$$
3) Questo punto in realtà lo possiamo risolvere indipendentemente dal sapere se la funzione è prolungabile con continuità nell'origine questo perché per funzioni di più variabili l'esistenza delle derivate in un punto NON IMPLICA la continuità della funzione in quel punto!(a differenza di quanto succedeva con le funzioni di una variabile)
Tuttavia se riuscissimo ad estendere la funzione nell'origine in modo che non solo le derivate esistono, ma sono anche continue allora avremmo dimostrato che la funzione prolungata è differenziabile il che implicherebbe la prolungabilità con continuità di $f$ anche nell'origine. Tuttavia questo in generale è più difficile da dimostrare rispetto al limite della sola continuità quindi non ci speriamo molto.
Come lo risolviamo??
Abbiamo due vie: a) calcoliamo le derivate parziali con le regole del calcolo e ne facciamo il limite in $(0,0)$ che però è un limite in due variabili quindi questa è la strada più difficile.
b) calcoliamo il limite con la definizione di derivata parziale. Questa è la strada più semplice perché è un limite in una variabile, il ""problema"" è che dobbiamo estendere la funzione in $(0,0)$.
scegliamo ovviamente la strada b).
Beh prima di partire con la fantasia e prolungare $f$ con un numero a caso, è sensato prolungare $f$ in questo modo $\bar{f} (0,0)=0$ questo perché anche se non siamo riusciti a dimostrare che il limite in $(0,0)$ di $f$ esiste, sappiamo per certo che se esiste è zero.
Abbiamo quindi che
$$
\bar f_x(0,0)=\lim_{x\to 0} \frac{\bar f(x,0)-\bar f(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^3-0}{x^2-0}-0}{x}=1
$$
e
$$
\bar f_y(0,0)=\lim_{y\to 0} \frac{\bar f(0,y)-\bar f(0,0)}{y}=\lim_{y\to 0} \frac{\frac{0-y^3}{0-y^2}-0}{y}=1
$$
Quindi la funzione
$$
\bar f=\begin{cases} f(x,y) \,& \text{if} \,\, x^2\ne y^2 \\ \frac{3}{2}x \,& \text{if} \,\, y=x \end{cases}
$$
anche se non sappiamo se è continua nell'origine, di sicuro è derivabile nell'origine.
"Bossmer":
... il motivo per cui questo thread viene ignorato è perché è troppo difficile ...
Se il problema è l'esistenza del limite nell'origine, basta considerare la seguente restrizione:
$[f(x,y)=(x^3-y^3)/(x^2-y^2)] ^^ [y=-tgx] rarr$
$rarr lim_(x->0)f(x,-tgx)=lim_(x->0)(x^3+tg^3x)/(x^2-tg^2x)=lim_(x->0)(x^3+[x+o(x)]^3)/(x^2-[x+1/3x^3+o(x^3)]^2)=$
$=lim_(x->0)(2x^3+o(x^3))/(-2/3x^4+o(x^4))=oo$
Che babbeo che sono XD 
Come ho fatto a non vederlo ?! XD
Bene il problema è risolto
Come ho fatto a non vederlo ?! XD
Bene il problema è risolto
Grazie mille sia a Bossmer che a Sergeant Elias. Anche se ho il sospetto che questa traccia sia stata inventata di sana pianta dal prof e che non sia stata presa da un libro di testo. MI avete chiarito molti dubbi. Se gentilmente ( non vorrei abusare della vostra pazienza) date un'occhiata anche al mio topic su differenziabilità di una funzione definita tratti vi mando un regalo a casa ( sono di parola, non è tanto per dire). Richieste invasive a parte grazie ancora 
.
.
Grazie mille ad entrambi ( se gurardate anche il mio topic sul prolungamento per continuità di una funzione in due variabili vi mando un cesto per Natale). Una sola domanda a Sergeant Elias. In che senso se ci si attiene al testo dovrei prolungare la funzione lungo gli assi coordinati? Prolungare in due variabili non vuol dire agire simultaneamente su entrambe le variabili? Perdona l'ignoranza ma fino a un minuto fa non credevo fosse lecito fare quello che mi hai consigliato
"GIOWRE92":
Una sola domanda a Sergeant Elias. In che senso se ci si attiene al testo dovrei prolungare la funzione lungo gli assi coordinati? Prolungare in due variabili non vuol dire agire simultaneamente su entrambe le variabili? Perdona l'ignoranza ma fino a un minuto fa non credevo fosse lecito fare quello che mi hai consigliato
Semplicemente sta applicando la definizione di derivata parziale, che per definizione appunto non è un limite in due variabili ma un limite in una variabile.
Non ha mai scritto "prolungare lungo gli assi coordinati" rileggi bene.
"GIOWRE92":
In che senso ...
Giusto per ribadire le considerazioni di Bossmer, intendevo definire $[f(0,0)=0]$ non per rendere la funzione continua nell'origine (missione impossibile), ma solo per calcolare le due derivate parziali prime nell'origine medesima:
$[lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/h] ^^ [lim_(h->0)(f(0,h)-f(0,0))/h]$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo