Prolungamento per continuità
Buongiorno a tutti! In un esame di Analisi 2 mi era stato dato un esercizio di questo tipo :
" $ f(x,y)=arctan(|x|y)/(sqrt(x^2+y^2) ) $ determinare se è prolungabile per continuità nel punto $ (0,0) $ "
io l'ho svolto spezzando per prima cosa il modulo in modo da avere due funzioni
$ { ( (arctan(xy))/(sqrt(x^2+y^2) ) ),( (arctan(-xy))/(sqrt(x^2+y^2)) ):} $ la prima vale per $ x>=0 $ mentre la seconda per $ x<0 $
poi ho pensato che se faccio il limite per $ (x,y)->(0,0) $ ad entrambe le funzioni e il risultato è lo stesso, allora la funzione è prolungabile per continuità nell'origine.
Seguendo questo ragionamento ho studiato prima l'equazione per $x>=0$ e ho sostituito $ x$ e $y$ con le coordinate polari e l'equazione risulta essere $ lim_(rho -> 0) arctan(rho ^2cosTheta senTheta )/rho $ , sono andata a riscrivermi l'argomento dell'arcotangente come $ 1/2rho ^2sen(2Theta ) $ e ho deciso di maggiorare e minorare la funzione e ho ottenuto $ arctan(-1/2rho ^2)/rho <=arctan(1/2rho ^2sen(2Theta ))/rho <=arctan(1/2rho ^2)/rho $ per vedere come si comportavano per $rho->0$ le due funzioni esterne ho applicato De l'Hopital e mi risulta che entrambe valgono $0$, quindi il $ lim_((x,y) -> (0,0)) arctan(xy)/sqrt(x^2+y^2)=0 $.
Eseguendo gli stessi calcoli per l'altra funzione mi viene uguale, quindi la funzione è prolungabile per continuità nell'origine.
I miei dubbi sono : - il procedimento è corretto?
- esiste un metodo più furbo per scoprire se è prolungabile?
Grazie a chiunque mi aiuterà
" $ f(x,y)=arctan(|x|y)/(sqrt(x^2+y^2) ) $ determinare se è prolungabile per continuità nel punto $ (0,0) $ "
io l'ho svolto spezzando per prima cosa il modulo in modo da avere due funzioni
$ { ( (arctan(xy))/(sqrt(x^2+y^2) ) ),( (arctan(-xy))/(sqrt(x^2+y^2)) ):} $ la prima vale per $ x>=0 $ mentre la seconda per $ x<0 $
poi ho pensato che se faccio il limite per $ (x,y)->(0,0) $ ad entrambe le funzioni e il risultato è lo stesso, allora la funzione è prolungabile per continuità nell'origine.
Seguendo questo ragionamento ho studiato prima l'equazione per $x>=0$ e ho sostituito $ x$ e $y$ con le coordinate polari e l'equazione risulta essere $ lim_(rho -> 0) arctan(rho ^2cosTheta senTheta )/rho $ , sono andata a riscrivermi l'argomento dell'arcotangente come $ 1/2rho ^2sen(2Theta ) $ e ho deciso di maggiorare e minorare la funzione e ho ottenuto $ arctan(-1/2rho ^2)/rho <=arctan(1/2rho ^2sen(2Theta ))/rho <=arctan(1/2rho ^2)/rho $ per vedere come si comportavano per $rho->0$ le due funzioni esterne ho applicato De l'Hopital e mi risulta che entrambe valgono $0$, quindi il $ lim_((x,y) -> (0,0)) arctan(xy)/sqrt(x^2+y^2)=0 $.
Eseguendo gli stessi calcoli per l'altra funzione mi viene uguale, quindi la funzione è prolungabile per continuità nell'origine.
I miei dubbi sono : - il procedimento è corretto?
- esiste un metodo più furbo per scoprire se è prolungabile?
Grazie a chiunque mi aiuterà
Risposte
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\arctan(|x|y)}{sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{\rho to 0^{+}} \frac{\arctan(\rho^2|\cos(\theta)|\sin(\theta))}{\rho} = \lim_{\rho to 0^{+}} \frac{\rho^2|\cos(\theta)|\sin(\theta)}{\rho} = \lim_{\rho to 0^{+}}\rho|\cos(\theta)|\sin(\theta)=0 \forall \theta $
Grazie per la risposta, posso solo chiederti perché sparisce l'arcotangente?☺
"Piccy":
Grazie per la risposta, posso solo chiederti perché sparisce l'arcotangente?☺
Per $ x \to 0 $ si ha che
$$ \arctan(x) \sim x $$
quindi, per $f(x) \to 0$
$$ \lim_{x \to \xi} { \frac{\arctan \left( f(x) \right)}{ f(x) } } = 1 \ , \ \xi \in \left[ -\infty , +\infty \right] $$
Perfetto!
ma quindi se $ lim_(x -> 0) f(x) = 0 $
allora posso dire che $ lim_(x -> 0) arctan (f(x)) = f(x) $ ?
perchè ho cercato tra i limiti notevoli ma non ho trovato nulla.
Grazie ancora
ma quindi se $ lim_(x -> 0) f(x) = 0 $
allora posso dire che $ lim_(x -> 0) arctan (f(x)) = f(x) $ ?
perchè ho cercato tra i limiti notevoli ma non ho trovato nulla.
Grazie ancora
No, è un normalissimo asintotico come quelli di analisi 1:
Se per $x \to x_0$
$$f(x) \sim g(x)$$
allora significa
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \Leftrightarrow \lim_{x to x_0} f(x) = \lim_{x to x_0} g(x)$
Per l'asintotico in questione, il limite notevole "associato" è:
$\lim_{x to 0} \frac{\arctan(x)}{x}=1$
Se per $x \to x_0$
$$f(x) \sim g(x)$$
allora significa
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \Leftrightarrow \lim_{x to x_0} f(x) = \lim_{x to x_0} g(x)$
Per l'asintotico in questione, il limite notevole "associato" è:
$\lim_{x to 0} \frac{\arctan(x)}{x}=1$
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