Prolungamento per continuità

[domenico.migl]

Salve a tutti, ho iniziato da poco a studiare analisi 2 e mi sono trovato davanti al concetto di prolungamento per continuità di una funzione a più variabili. Ma non mi é per niente chiaro, c'è qualcuno che saprebbe spiegarmelo?
Grazie mille!

[dissonance]

È uguale al concetto di prolungamento per continuità di una funzione di una sola variabile. Non c'entra niente la dimensione. Posta qualche esempio o spiegati un po', è più facile rispondere se offri degli spunti.

[domenico.migl]

"dissonance":È uguale al concetto di prolungamento per continuità di una funzione di una sola variabile. Non c'entra niente la dimensione. Posta qualche esempio o spiegati un po', è più facile rispondere se offri degli spunti.

Il paragrafo è quello della derivate parziali e recita così:

"Le derivate parziali $f_x$ $f_y$ in un punto di frontiera $(x_0, y_0)$ del dominio D sono definite come prolungamento per continuità di $f_x(x,y)$ $f_y(x,y)$ "

Non ho capito cosa intende con prolungamento per continuità

[domenico.migl]

Ecco neanche a farlo di proposito oggi la prof di analisi ci ha assegnato questo quesito:

Sia $f(x,y)=ylog(2+xy/(x^2+y^2))$
Stabilire se $f$ è prolungabile per continuità in $(0,0)$ e in caso affermativo studiare la differenziabilità del suo prolungamento nel punto $(0,0)$.

[randomize]

per ora la funzione $f$ non ha il punto $(0,0)$ nel suo dominio
il problema chiede di includerlo in modo che $f$ sia ivi continua
per far questo basta porre, il nuovo valore che deve assumere $f(0,0)=lim_((x,y)to(0,0))f(x,y)=0$ quindi è possibile estenderla per continuità in quanto il limite esiste ed è finito.

[domenico.migl]

Un esempio di funzione non prolungabile per continuità?

[randomize]

$f(x,y)=x/y$, questa funzione non è definita nel punto $(1,0)$ e non è prolungabile per continuità in quanto $lim_((x,y) to (1,0)) x/y $ non esiste quindi in qualunque modo prolungo $f$ non potrà mai essere continua