Prolungamento due periodioco - serie di Fourier

[gino4ever]

Salve a tutti, non ho ben chiaro come si realizzi il prolungamento due periodico di una funzione utile per la convergenza delle serie di Fourier. Qualcuno potrebbe spiegarmi ad esempio cosa fare per la funxione f(x)=x^2 in [-1; 1] ? Grazie

[gugo82]

Il prolungamento si ottiene giustapponendo grafici come mostrato in figura:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-2; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("x^2",-1,1);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; plot("(x+4)^2",-5,-3); plot("(x+2)^2",-3,-1); plot("(x-2)^2",1,3); plot("(x-4)^2",3,5);[/asvg]
Per avere una forma analitica, supponendo che la forma d'onda \(f_0(x)=x^2\) sia troncata a zero fuori dall'intervallo \([-1,1[\), ossia che:
\[
f_0(x) :=\begin{cases} x^2 &\text{, se } -1\leq x< 1\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\; ,
\]
puoi ricorrere alla serie bilatera:
\[
\sum_{k=-\infty}^\infty f_0(x-2k)
\]
la cui somma \(f(x)\) è ben definita (perché?).