Prolungamento delle soluzioni del problema di cauchy
Ciao ragazzi!
Se ho un problema di cauchy da risolvere e trovo una funzione che lo soddisfi, non ho capito come si fa a stabilire se è possibile trovarne un prolungamento: cioè prima guardo il dominio della mia soluzione, poi prendo "il pezzo di dominio" nel quale è contenuto tipo t_0 e quello è il dominio di esistenza del mio problema di cauchy, ma come faccio a capire se posso prolungare in qualche modo la soluzione al di fuori di questo dominio? è possibile trovare un altra funzione che soddisfi la mia equazione differenziale da "attaccare" alla precedente fuori dal pezzo di dominio che contiene t_0 in modo che nel punto in cui sono state attaccate le due soluzioni la funzione totale sia di classe Ck (se l'equazione di partenza è ed classe Ck)? Grazie!
Se ho un problema di cauchy da risolvere e trovo una funzione che lo soddisfi, non ho capito come si fa a stabilire se è possibile trovarne un prolungamento: cioè prima guardo il dominio della mia soluzione, poi prendo "il pezzo di dominio" nel quale è contenuto tipo t_0 e quello è il dominio di esistenza del mio problema di cauchy, ma come faccio a capire se posso prolungare in qualche modo la soluzione al di fuori di questo dominio? è possibile trovare un altra funzione che soddisfi la mia equazione differenziale da "attaccare" alla precedente fuori dal pezzo di dominio che contiene t_0 in modo che nel punto in cui sono state attaccate le due soluzioni la funzione totale sia di classe Ck (se l'equazione di partenza è ed classe Ck)? Grazie!
Risposte
Diciamo che il tuo problema di Cauchy è del tipo
\[
\begin{cases}
x'(t) = f(t,x),\\
x(t_0) = x_0,
\end{cases}
\]
con \(f\) definita in un certo aperto \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\) contenente in punto \((t_0,x_0)\).
Supponiamo che trovi una soluzione \(x(t)\) definita per \(t\in (a,b)\) (intervallo che ovviamente deve contenere \(t_0\)).
Vediamo la prolungabilità a destra nel caso \(b < +\infty\) (a sinistra si ragiona in modo analogo).
Se si verifica una delle due seguenti condizioni:
1) \(\lim_{t\to b-} |x(t)| = +\infty\);
2) il punto \((t,x(t))\) tende a \(\partial\Omega\) per \(t\to b-\);
allora la soluzione non è prolungabile a destra.
Viceversa puoi prolungare la soluzione a destra di \(b\).
\[
\begin{cases}
x'(t) = f(t,x),\\
x(t_0) = x_0,
\end{cases}
\]
con \(f\) definita in un certo aperto \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\) contenente in punto \((t_0,x_0)\).
Supponiamo che trovi una soluzione \(x(t)\) definita per \(t\in (a,b)\) (intervallo che ovviamente deve contenere \(t_0\)).
Vediamo la prolungabilità a destra nel caso \(b < +\infty\) (a sinistra si ragiona in modo analogo).
Se si verifica una delle due seguenti condizioni:
1) \(\lim_{t\to b-} |x(t)| = +\infty\);
2) il punto \((t,x(t))\) tende a \(\partial\Omega\) per \(t\to b-\);
allora la soluzione non è prolungabile a destra.
Viceversa puoi prolungare la soluzione a destra di \(b\).
Ciao Rigel, tale teorema ha un nome tutto suo? non riesco a trovarlo nel libro d'analisi o per le applicazioni....
inoltre non comprendo la notazione che dice che un punto $(t,x(t))$ tende al bordo di $\Omega$ ..... è sempre un limite da fare? (scusa l'ignoranza...)
inoltre non comprendo la notazione che dice che un punto $(t,x(t))$ tende al bordo di $\Omega$ ..... è sempre un limite da fare? (scusa l'ignoranza...)
se ti riferisci alle dispense di ji8 a primo avviso sono perfette *_*
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