Prolungamento della continuità

[vivi996]

Sia f la funzione definita da $f(x)=sqrt(x)-((xlogx)/(x-1))$
Provare che esiste un prolungamento $F$ di $f(x)$ in $Xo=1$ di classe almeno $C^2$
$((0, +∞))$.

Essendo il dominio di $f(x)$ diverso da uno, calcolando il limite mi da 0. Ora, F dev'essere classe $C^2$ , dunque derivabile in quel punto almeno due volte e t.c. $F(1)=0$. E' giusto pensare ad una funzione del tipo :

$\{(f(x)\ se\ x!=1),(sen(x)\ se\ x=1):}$
La derivata del seno è continua e pure quella della sua derivata seconda.
Devo dimostrarlo in modo più analitico?

[Studente Anonimo]

"vivi96":
... è giusto pensare ad una funzione del tipo ...

Premesso che non ha alcun senso introdurre una seconda funzione, più o meno elementare, allo scopo di definire la prima solo per $[x_0=1]$:

$[f(x)=sqrtx-(xlogx)/(x-1)] ^^ [lim_(x->1)f(x)=0] rarr [f(1)=0]$

dopo aver determinato la derivata prima e la derivata seconda:

$(df)/(dx)=1/(2sqrtx)-(x-1-logx)/(x-1)^2$

$(d^2f)/(dx^2)=-1/(4xsqrtx)-((x-1)(x-3)+2logx)/(x(x-1)^3)$

è sufficiente verificare le seguenti:

$[lim_(x->1)(df)/(dx)=barl] rarr [(df)/(dx)(1)=barl]$

$[lim_(x->1)(d^2f)/(dx^2)=barbarl] rarr [(d^2f)/(dx^2)(1)=barbarl]$

[vivi996]

quindi è sufficiente porre $0$ quando $x=1$ ?
E dunque essendo $F(x)$ derivabile 2 volte può andare bene così?
Se i limiti delle derivate fossero stati diversi dal valore di esse in quel punto?

[Studente Anonimo]

"vivi96":
Se i limiti delle derivate fossero stati diversi dal valore di esse in quel punto?

Ti ricordo che la funzione e le sue derivate non sono definite per $[x=1]$. Insomma, non si comprende quali sarebbero i loro valori per $[x=1]$ prima ancora di averli assegnati. In realtà, solo dopo aver calcolato quei tre limiti, è possibile definirle univocamente anche per $[x=1]$.

[vivi996]

Ho capito. Ma assegnando un'altra funzione come ho fatto io, che rispetta le condizioni richieste, è proprio sbagliato concettualmente perchè non mette in luce la cosa che se una funzione non è definita in un punto non è detto che non sia comunque continua?

[Studente Anonimo]

Prima di risponderti, non ho ancora capito se hai almeno calcolato i seguenti limiti:

$[lim_(x->1)(df)/(dx)] ^^ [lim_(x->1)(d^2f)/(dx^2)]$

A me risulta:

$[lim_(x->1)(df)/(dx)=0] ^^ [lim_(x->1)(d^2f)/(dx^2)=-11/12]$

[vivi996]

Ah no non li ho ancora calcolati perchè cercavo di capire il ragionamento per applicarlo poi in tutti gli esercizi di questo tipo

[Studente Anonimo]

Ammesso e non concesso che:

$[lim_(x->1)f(x)=0] ^^ [lim_(x->1)(df)/(dx)=0] ^^ [lim_(x->1)(d^2f)/(dx^2)=-11/12]$

proprio definendo:

$[f(1)=0] ^^ [(df)/(dx)(1)=0] ^^ [(d^2f)/(dx^2)(1)=-11/12]$

riesci a estendere la funzione con continuità fino alla derivata seconda. Non ha alcun valore aggiunto determinare una seconda funzione $g(x)$, tra l'altro, da valutare solo per $[x=1]$, che goda delle seguenti tre proprietà:

$[g(1)=0] ^^ [(dg)/(dx)(1)=0] ^^ [(d^2g)/(dx^2)(1)=-11/12]$

per soddisfare la consegna. Insomma, lo fai "a mano". E comunque, $[g(x)=sinx]$ non farebbe al caso tuo visto che:

$[g(1)=sin1 ne 0] ^^ [(dg)/(dx)(1)=cos1 ne 0] ^^ [(d^2g)/(dx^2)(1)=-sen1 ne -11/12]$