Prolungamento con derivata continua
Ciao, amici!
Mi sembra banale (poi magari non lo è) che si possa prolungare una funzione $f$ continua su un insieme chiuso $\bar A \in RR^n$ con continuità all'esterno di esso, cioè definire una funzione che assuma in $\bar A$ i valori di $f$ e che abbia come limite per ogni punto della frontiera il valore che su quel punto assume $f$, ma direi anche -intuitivamente- che $f \in C^k(\bar A)$ sia prolungabile con derivata k-esima continua all'esterno di $\bar A$.
Vorrei chiedere a chi sia così buono da rispondere se questo è corretto e, se non è banale, come si può dimostrare, ché una dimostrazione non mi viene, ma solo per mero esprit de finesse mi pare che sia così... (e quindi magari mi sbaglio di brutto).
$+oo$ grazie!!!
Mi sembra banale (poi magari non lo è) che si possa prolungare una funzione $f$ continua su un insieme chiuso $\bar A \in RR^n$ con continuità all'esterno di esso, cioè definire una funzione che assuma in $\bar A$ i valori di $f$ e che abbia come limite per ogni punto della frontiera il valore che su quel punto assume $f$, ma direi anche -intuitivamente- che $f \in C^k(\bar A)$ sia prolungabile con derivata k-esima continua all'esterno di $\bar A$.
Vorrei chiedere a chi sia così buono da rispondere se questo è corretto e, se non è banale, come si può dimostrare, ché una dimostrazione non mi viene, ma solo per mero esprit de finesse mi pare che sia così... (e quindi magari mi sbaglio di brutto).
$+oo$ grazie!!!
Risposte
A me non sembra tanto banale. Prendi \(\bar{A}=\{(x, y)\mid x>0, y\ge 1/x\}\cup\{(x, y)\mid x>0, y \le -1/x\}\) e definisci una funzione
\[f(x, y)=\begin{cases} 1 & y\ge 1/x \\ 0 & y \le-1/x\end{cases}.\]
Mi sa tanto che questa funzione, che pure è regolare al massimo nella parte interna di \(\bar{A}\), non ammette prolungamenti continui a nessun aperto che contenga \(\bar{A}\).
\[f(x, y)=\begin{cases} 1 & y\ge 1/x \\ 0 & y \le-1/x\end{cases}.\]
Mi sa tanto che questa funzione, che pure è regolare al massimo nella parte interna di \(\bar{A}\), non ammette prolungamenti continui a nessun aperto che contenga \(\bar{A}\).
$+oo$ grazie, Dissonance!!! Aggiungendo la clausola che $\bar A$ sia connesso...? Mi sono posto il problema perché vedo che il mio testo, il Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, formula spesso teoremi e relative dimostrazioni che hanno per oggetto proprietà in $A$ di funzioni $f$ di classe $C^k(B)$ con $A \subset B$ e mi chiedevo se queste formulazioni siano valide anche con $f \in C^k(\bar A)$ senza tener conto di $B \\ \bar A$, perché noto che usualmente il Bramanti-Salsa-Pagani descrive negli stessi contesti funzioni di tipo $f \in C^k(\bar A)$. Se fosse vera la mia un po' sgangherata ipotesi direi che basterebbe pensare ad $f \in C^k(\bar A)$ come ad una restrizione di una funzione $g \in C^k(B)$ (sempre con $A \subset B$)...
Grazie di cuore ancora a te e a chiunque altro vorrà partecipare!
Grazie di cuore ancora a te e a chiunque altro vorrà partecipare!
No, sono questioni delicate. In generale se \(A \subset B\) (e tutti e due sono aperti), non è detto che una funzione \(C^k(\bar{A})\) sia la restrizione ad \(A\) di una funzione \(C^k(B)\). Dipende da come è fatto l'aperto \(A\) e soprattutto da come è fatto il suo bordo: se non è regolare (in un senso che non posso specificare in due parole), allora la cosa è falsa.
Diciamo che, per una funzione regolare, essere la restrizione di una funzione regolare definita in un aperto più grande è una proprietà più forte.
PS: Nell'esempio precedente il problema non è la connessione, ma la presenza di una sorta di "cuspide". Pure su aperti connessi si possono costruire esempi analoghi. Uno che ne capisce di queste cose è Gugo.
Diciamo che, per una funzione regolare, essere la restrizione di una funzione regolare definita in un aperto più grande è una proprietà più forte.
PS: Nell'esempio precedente il problema non è la connessione, ma la presenza di una sorta di "cuspide". Pure su aperti connessi si possono costruire esempi analoghi. Uno che ne capisce di queste cose è Gugo.
Grazie di cuore ancora, Dissonance!!! Nel frattempo ho scoperto un teorema che afferma che se qualcosa mi sembra scontata è estremamente probabile che mi stia sbagliando.
Si si, quello è un corollario della legge di Murphy.
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