Prolungamento analitico
Mi chiedevo: supponiamo che $f(z)$ sia una funzione di variabile complessa definita in un insieme aperto e connesso $U$ e che sia olomorfa nell'aperto e connesso $A \subset U$. Pensando alla $f(z)$ come definita solo su $A$, supponiamo che esista un prolungamento analitico $g(z)$ di $f(z)$ a $U$. Allora $f(z) = g(z)$ per ogni $z \in U$?
Probabilmente è una domanda scema, ma adesso non mi viene in mente la risposta...
Probabilmente è una domanda scema, ma adesso non mi viene in mente la risposta...
Risposte
Mmm dovrebbe esserecosì:
Sia $U$ aperto e connesso di $\C$. Siano $f$,$g$ olomorfe in $U$. Sia $A\subset U$ tale che ammette punti di accumulazione.
Se $f(z)=g(z)$ per ogni $z\in A$ allora puoi affermare che $f=g$ in $U$.
Però controlla...non sono sicuro di ricordarmi bene però ad occhio dovrebbe essere così!
Sia $U$ aperto e connesso di $\C$. Siano $f$,$g$ olomorfe in $U$. Sia $A\subset U$ tale che ammette punti di accumulazione.
Se $f(z)=g(z)$ per ogni $z\in A$ allora puoi affermare che $f=g$ in $U$.
Però controlla...non sono sicuro di ricordarmi bene però ad occhio dovrebbe essere così!
Sì, quello che dici è sicuramente corretto. Però, il problema, è che io non so se $f$ è olomorfa in $U$. So solo che vi è definita e che vi ammette anche un prolungamento analitico... La domanda è: coincide con il suo prolungamento analitico?
Basta applicare il principio d'identità delle funzioni analitiche:
Due funzioni analitiche in [tex]$U$[/tex], aperto connesso, che coincidono su un aperto [tex]$A\subseteq U$[/tex] (ma basta che coincidano su un insieme [tex]$E\subseteq U$[/tex] con un'accumulazione interna ad [tex]$U$[/tex]) coincidono su tutto [tex]$U$[/tex].
Ma, gugo82, se io sapessi che $f$ è analitica in tutto $U$ saprei anche che è olomorfa e quello che dici tu risolverebbe il problema. E fin qui ci sono.
Però la mia domanda è diversa: infatti, io so soltanto che $f$ esiste in $U$ e non che è olomorfa in $U$. So che è olomorfa nell'aperto $A \subseteq U$ e che ammette un prolungamento analitico in $U$. Riformulando la domanda:
se $f$ è definita nell'aperto di $U$, è olomorfa in un aperto $A$ di $U$ ed ammette un prolungamento analitico in $U$, allora segue necessariamente che è olomorfa (o analitica che dir si voglia) in tutto $U$?
Però la mia domanda è diversa: infatti, io so soltanto che $f$ esiste in $U$ e non che è olomorfa in $U$. So che è olomorfa nell'aperto $A \subseteq U$ e che ammette un prolungamento analitico in $U$. Riformulando la domanda:
se $f$ è definita nell'aperto di $U$, è olomorfa in un aperto $A$ di $U$ ed ammette un prolungamento analitico in $U$, allora segue necessariamente che è olomorfa (o analitica che dir si voglia) in tutto $U$?
Ah scusa maurer, non avevo capito fino in fondo... Al momento non mi viene in mente nulla; ci penserò.
Non capisco benissimo cosa intendi, maurer. Se sai solo che $f$ può essere prolungata, chiaramente non è detto che il prolungamento sia analitico. Esempio scemo: sia $S_1={z\inCC\ |\ |z|<1}$ e $f:S\to CC$ la funzione identicamente nulla. Adesso prendiamo l'aperto $S_2={z\inCC\ |\ |z|<2}$ e le due funzioni di $S_2$ in $CC$:
$F(z)={(0, |z|<=1), (|z|^2-1, |z|>1):}, G(z)=0$ .
Entrambe sono continue (anche $C^1$), entrambe prolungano la funzione olomorfa $f$, però sono diverse. Questo perché $F$ non è analitica.
Un qualsiasi altro prolungamento analitico di $f$ all'aperto $S_2$, invece, deve coincidere con la funzione $G$ (identicamente nulla). Questo per il teorema che dice Gugo, il quale sostanzialmente è il principio di identità delle serie di potenze: due s.d.p. con raggio di convergenza non nullo sono uguali se e solo se i rispettivi coefficienti sono ordinatamente uguali.
Non so se ho centrato il dubbio, non credo, ma ci ho provato!
$F(z)={(0, |z|<=1), (|z|^2-1, |z|>1):}, G(z)=0$ .
Entrambe sono continue (anche $C^1$), entrambe prolungano la funzione olomorfa $f$, però sono diverse. Questo perché $F$ non è analitica.
Un qualsiasi altro prolungamento analitico di $f$ all'aperto $S_2$, invece, deve coincidere con la funzione $G$ (identicamente nulla). Questo per il teorema che dice Gugo, il quale sostanzialmente è il principio di identità delle serie di potenze: due s.d.p. con raggio di convergenza non nullo sono uguali se e solo se i rispettivi coefficienti sono ordinatamente uguali.
Non so se ho centrato il dubbio, non credo, ma ci ho provato!
Hai ragione dissonance. Una funzione può ammettere due prolungamenti, uno analitico ed uno no, e non necessariamente coincidono (anzi coincidono se e solo se sono entrambi analitici). Lo sapevo che era una domanda scema! 
No, non è una "domanda scema". Questo fenomeno non è per niente banale. Se ti vuoi esercitare, prova a prolungare ad $S_2$ la funzione $S_1\toCC$ identicamente nulla con prolungamento $C^infty$. Si intende che il prolungamento non deve essere analitico!
Hint: basati sul famoso esempio di funzione $C^infty(RR)$ ma non analitica che avrai studiato sicuramente nei corsi di analisi.
[EDIT]$S_1, S_2$ sono definiti nel mio post precedente. Puoi chiamarli $D(0;1), D(0;2)$ se ti piace di più.
Hint: basati sul famoso esempio di funzione $C^infty(RR)$ ma non analitica che avrai studiato sicuramente nei corsi di analisi.
[EDIT]$S_1, S_2$ sono definiti nel mio post precedente. Puoi chiamarli $D(0;1), D(0;2)$ se ti piace di più.
Ad occhio:
[tex]f(x,y) := \left\{ \begin{array}{ll}0 & \mbox{se } \|(x,y)\|_2 \le 1 \\
e^{-\frac{1}{x^2+y^2-1}} & \mbox{se } \|(x,y)\|_2 > 1 \end{array} \right.[/tex]
Intanto è chiaro che, detto [tex]C_1[/tex] il complementare di [tex]\mathcal{S}^1[/tex] in [tex]\mathbb{C}[/tex], per ogni [tex](x_0,y_0) \in \mathcal{S}^1[/tex] si ha
[tex]\displaystyle \lim_{C_1 \ni (x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = 0[/tex]
L'unica cosa non banale da provare è che per ogni [tex]n[/tex]
[tex]\displaystyle \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}(x,y) = 0[/tex]
L'idea è di mostrare, per induzione, che [tex]\frac{\partial^n f}{\partial x^n}(x,y) = r(x,y) f(x,y)[/tex] dove [tex]r(x,y)[/tex] è una funzione razionale in due variabili. In tal caso sarà evidente che il limite è 0 per semplici questioni di ordine di infinitesimo.
Ora, il caso base è
[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{2x}{(x^2+y^2-1)^3}e^{-\frac{1}{x^2+y^2-1}}[/tex]
e soddisfa evidentemente la mia tesi. Supponiamo ora che
[tex]\displaystyle \frac{\partial^{n-1} f}{\partial x^{n-1}}(x,y) = r(x,y) f(x,y)[/tex]
Allora
[tex]\displaystyle \frac{\partial^n f}{\partial x^n} (x,y) = f(x,y) \frac{\partial r}{\partial x}(x,y) + r(x,y)\frac{2x}{(x^2+y^2-1)^3}f(x,y) = P(x,y) f(x,y)[/tex]
con
[tex]\displaystyle P(x,y) = \frac{\partial r}{\partial x}(x,y) + \frac{2x}{(x^2+y^2-1)^3}r(x,y)[/tex]
che è chiaramente un polinomio.
Analogamente si trattano le altre derivate miste.
Naturalmente, rivedendo [tex]f(x,y) = \tilde{f}(z) = \tilde{f}(x+iy)[/tex] come una funzione di variabile complessa, otteniamo che non può essere olomorfa su tutto [tex]\mathbb{C}[/tex], visto che se fosse così sarebbe identicamente nulla.
Una domanda (così che se non si fosse capito che ho iniziato da poco Analisi Complessa, rimediamo immediatamente): è possibile che una funzione [tex]g(z) := f(|z|)[/tex] sia olomorfa? (cioè una funzione di variabile complessa che possa essere pensata come funzione del modulo di z)
So che [tex]|z|[/tex] non è olomorfa. (Metto in spoiler, ma se qualcuno avesse voglia di dirmi se ho detto cavolate, mi farebbe un gran piacere!)
Ma una funzione di [tex]|z|[/tex]? Non si può dire nulla in generale?
[tex]f(x,y) := \left\{ \begin{array}{ll}0 & \mbox{se } \|(x,y)\|_2 \le 1 \\
e^{-\frac{1}{x^2+y^2-1}} & \mbox{se } \|(x,y)\|_2 > 1 \end{array} \right.[/tex]
Intanto è chiaro che, detto [tex]C_1[/tex] il complementare di [tex]\mathcal{S}^1[/tex] in [tex]\mathbb{C}[/tex], per ogni [tex](x_0,y_0) \in \mathcal{S}^1[/tex] si ha
[tex]\displaystyle \lim_{C_1 \ni (x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = 0[/tex]
L'unica cosa non banale da provare è che per ogni [tex]n[/tex]
[tex]\displaystyle \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}(x,y) = 0[/tex]
L'idea è di mostrare, per induzione, che [tex]\frac{\partial^n f}{\partial x^n}(x,y) = r(x,y) f(x,y)[/tex] dove [tex]r(x,y)[/tex] è una funzione razionale in due variabili. In tal caso sarà evidente che il limite è 0 per semplici questioni di ordine di infinitesimo.
Ora, il caso base è
[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{2x}{(x^2+y^2-1)^3}e^{-\frac{1}{x^2+y^2-1}}[/tex]
e soddisfa evidentemente la mia tesi. Supponiamo ora che
[tex]\displaystyle \frac{\partial^{n-1} f}{\partial x^{n-1}}(x,y) = r(x,y) f(x,y)[/tex]
Allora
[tex]\displaystyle \frac{\partial^n f}{\partial x^n} (x,y) = f(x,y) \frac{\partial r}{\partial x}(x,y) + r(x,y)\frac{2x}{(x^2+y^2-1)^3}f(x,y) = P(x,y) f(x,y)[/tex]
con
[tex]\displaystyle P(x,y) = \frac{\partial r}{\partial x}(x,y) + \frac{2x}{(x^2+y^2-1)^3}r(x,y)[/tex]
che è chiaramente un polinomio.
Analogamente si trattano le altre derivate miste.
Naturalmente, rivedendo [tex]f(x,y) = \tilde{f}(z) = \tilde{f}(x+iy)[/tex] come una funzione di variabile complessa, otteniamo che non può essere olomorfa su tutto [tex]\mathbb{C}[/tex], visto che se fosse così sarebbe identicamente nulla.
Una domanda (così che se non si fosse capito che ho iniziato da poco Analisi Complessa, rimediamo immediatamente): è possibile che una funzione [tex]g(z) := f(|z|)[/tex] sia olomorfa? (cioè una funzione di variabile complessa che possa essere pensata come funzione del modulo di z)
So che [tex]|z|[/tex] non è olomorfa. (Metto in spoiler, ma se qualcuno avesse voglia di dirmi se ho detto cavolate, mi farebbe un gran piacere!)
Ma una funzione di [tex]|z|[/tex]? Non si può dire nulla in generale?
Prima parte: Esatto! Molto bene. Mi dispiace averti fatto fare tutti quei conti... Lo svolgimento che avevo in mente era molto più scansafatiche:
definiamo [tex]$f(z)=\begin{cases} 0 & \lvert z \rvert \le 1 \\ \rm{e}^{\frac{1}{1-\lvert z \rvert ^2} & \lvert z \rvert >1 \end{cases}[/tex] ; siccome abbiamo già fatto ( tanto non controlla nessuno
) il conto per dimostrare che [tex]g(x)=\begin{cases} 0 & x \le 1 \\ \rm{e}^{\frac{1}{1-x^2} & x > 1 \end{cases}[/tex] è di classe [tex]C^\infty(\mathbb{R})[/tex] sappiamo che anche [tex]f(z)=g(|z|)[/tex] è di classe [tex]C^\infty(\mathbb{C})[/tex]. Si potrebbe obiettare che [tex]\lvert z \rvert[/tex] non è regolare in [tex]0[/tex], ma in tutto un intorno di [tex]0[/tex] la [tex]g(\lvert z \rvert)[/tex] è nulla; intorno a tutti gli altri punti [tex]f[/tex] è composizione di funzioni di classe [tex]C^\infty[/tex].
A differenza mia, tu i conti li hai fatti veramente e non posso che complimentarmi con te.
Seconda parte: Non ho capito cosa hai combinato nello spoiler! La funzione modulo non è olomorfa e la dimostrazione più semplice passa da un teoremino di tipo Liouville: se [tex]f[/tex] è una funzione olomorfa a valori reali allora è costante. In particolare non sono olomorfe [tex]\lvert z \rvert, \rm{Re}(z), \rm{Im}(z)[/tex]. Prova a dimostrare questo teoremino: hint - Cauchy-Riemann.
Ultima cosa:
definiamo [tex]$f(z)=\begin{cases} 0 & \lvert z \rvert \le 1 \\ \rm{e}^{\frac{1}{1-\lvert z \rvert ^2} & \lvert z \rvert >1 \end{cases}[/tex] ; siccome abbiamo già fatto ( tanto non controlla nessuno
) il conto per dimostrare che [tex]g(x)=\begin{cases} 0 & x \le 1 \\ \rm{e}^{\frac{1}{1-x^2} & x > 1 \end{cases}[/tex] è di classe [tex]C^\infty(\mathbb{R})[/tex] sappiamo che anche [tex]f(z)=g(|z|)[/tex] è di classe [tex]C^\infty(\mathbb{C})[/tex]. Si potrebbe obiettare che [tex]\lvert z \rvert[/tex] non è regolare in [tex]0[/tex], ma in tutto un intorno di [tex]0[/tex] la [tex]g(\lvert z \rvert)[/tex] è nulla; intorno a tutti gli altri punti [tex]f[/tex] è composizione di funzioni di classe [tex]C^\infty[/tex]. A differenza mia, tu i conti li hai fatti veramente e non posso che complimentarmi con te.
Seconda parte: Non ho capito cosa hai combinato nello spoiler!
La funzione modulo non è olomorfa e la dimostrazione più semplice passa da un teoremino di tipo Liouville: se [tex]f[/tex] è una funzione olomorfa a valori reali allora è costante. In particolare non sono olomorfe [tex]\lvert z \rvert, \rm{Re}(z), \rm{Im}(z)[/tex]. Prova a dimostrare questo teoremino: hint - Cauchy-Riemann.Ultima cosa:
è possibile che una funzione [tex]g(z) := f(|z|)[/tex] sia olomorfa? (cioè una funzione di variabile complessa che possa essere pensata come funzione del modulo di z)La terminologia più corretta credo sia "una funzione a simmetria radiale". Quanto alla tua domanda, la risposta è si con un controesempio banalissimo: [tex]0[/tex]. Se mi parli di una funzione non costante e a simmetria radiale, allora ti rispondo che non lo so, ci devo pensare.
Nello spoiler ho solo calcolato il limite del rapporto incrementale e ho fatto vedere a mano che non esiste. Comunque, la strada che suggerisci è molto più comoda. Mi cimento nella dimostrazione:
Teorema. Sia [tex]U[/tex] un insieme aperto e connesso di [tex]\mathbb{C}[/tex] e supponiamo che [tex]f(z)[/tex] sia una funzione olomorfa in [tex]U[/tex]. Allora se [tex]\Re(f(z))[/tex] oppure [tex]\Im(f(z))[/tex] sono costanti, [tex]f(z)[/tex] è costante.
Proof. Scriviamo [tex]f(z) = f_1(z) + if_2(z)[/tex] con [tex]f_1[/tex] e [tex]f_2[/tex] funzioni a valori reali. Usando le equazioni di Cauchy Riemann otteniamo che
[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = i \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)[/tex]
e quindi
[tex]\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x} (x,y) + i\frac{\partial f_2}{\partial x}(x,y) = i \frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y) - \frac{\partial f_2}{\partial y}(x,y)[/tex]
identità che riscriviamo come
[tex]\displaystyle \left( \frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y) + \frac{\partial f_2}{\partial y}(x,y)\right) - i\left(\frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y) - \frac{\partial f_2}{\partial x}(x,y) \right) = 0[/tex]
Ma questa identità è un'identità tra numeri complessi e quindi equivale al sistema
[tex]\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y) = - \frac{\partial f_2}{\partial y}(x,y)} \\
\frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial f_2}{\partial x}(x,y) \end{array} \right.[/tex]
A questo punto è immediato: supponiamo che la parte immaginaria sia costante. Allora entrambe le derivate parziali della parte reale sono nulle e quindi la funzione è localmente costante. Dal momento che, però, [tex]U[/tex] è supposto connesso, allora la parte reale è globalmente costante, da cui segue che l'intera funzione è costante. Se invece è la parte reale ad essere costante, allora sono nulle le derivate parziali della parte immaginaria, da cui segue analogamente la tesi. [tex]\square[/tex]
[/list:u:1q30jrux]
Adesso che mi ci fai riflettere, avevo visto questo risultato sul Cartan. Tuttavia, per dimostrarlo, segue una strada che non esito a definire "scavezzacollo". Introduce le variabili [tex]z[/tex] e [tex]\overline{z}[/tex]. Scrive [tex]dz = dx + idy[/tex], [tex]d\overline{z} = dx - idy[/tex] e poi inverte il sistema (se operi un'orrenda sostituzione algebrica oppure se calcoli l'inverso dello Jacobiano della trasformazione non è chiaro), dopodiché ricava alcune proposizioni (tra cui questa qui). Ma il procedimento mi sembra tutt'altro che rigoroso e quindi avevo saltato a pié pari, senza, in realtà, provare a dimostrare la validità del risultato con metodi più saldi. Beh, ho recuperato adesso
Anche l'Ahlfors parla di queste variabili, però sottolinea molto più esplicitamente del Cartan, il loro aspetto puramente intuitivo e non formale (e rassicura sul fatto che non verranno più usate). Da questo punto di vista giunge ad un'idea intuitiva interessante: le funzioni olomorfe sono le funzioni della pura variabile [tex]z[/tex], ossia che non dipendono intrinsecamente da [tex]\overline{z}[/tex]. A livello intuitivo, quindi, seguendo questa linea di pensiero, mi verrebbe da dire che la risposta alla mia domanda sia no: non può esistere una funzione olomorfa non costante a simmetria radiale. Ovviamente bisognerebbe e sarebbe bello rendere rigoroso il tutto.
Queste faccende "ponte" tra variabile reale e variabile complessa si affrontano bene con le equazioni di Cauchy-Riemann che hai appena richiamato. (NOTA - en passant: quella del Cartan è solo una notazione, utilissima a livello mnemonico; tuttavia so che si può formalizzare in modo rigoroso, e da qualche parte dovrei avere una dispensa, mi pare di Maurizio Cailotto, in cui se ne parla. Si tratta di un approccio credo tipico dei geometri, basato sulle forme differenziali.)
Infatti puoi vedere le funzioni olomorfe come quelle funzioni di due variabili reali che sono soluzione di quel sistema di equazioni alle derivate parziali. Da qui si fanno discendere una miriade di proprietà sorprendenti, tra cui una:
se $f=u+iv$ è olomorfa in un aperto $Omega$, allora $u, v$ sono funzioni armoniche in $Omega$ (i.e. $\frac{\partial ^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0, frac{\partial ^2v}{\partialx^2}+\frac{\partial^2v}{\partialy^2}=0$).
Ora una proprietà caratterizzante le funzioni armoniche è la proprietà della media: se $z\in Omega$ e $r>0$ è abbastanza piccolo perché la circonferenza di centro $z$ e raggio $r$ sia contenuta in $Omega$, allora ($C(z, r)$ sta per "circonferenza di centro $z$ e raggio $r$", percorsa nel verso antiorario):
$u(z)=1/(2 pi r)\int_{C(z, r)}u(x, y) ds, v(z)=1/(2 pi r)\int_{C(z, r)}v(x, y) ds$ (MVP)
ovvero il valore di $u$ e $v$ in un punto è uguale alle medie integrali su una circonferenza di centro il punto stesso. (Questo fatto ha importanza in fisica).
Da qui discende che una funzione olomorfa intera a simmetria radiale è costante. Infatti se $f$ è a simmetria radiale, anche $u, v$ sono a simmetria radiale, quindi costanti sulle circonferenze di centro l'origine; dalle (MVP) segue subito che il valore assunto su ognuna di queste circonferenze è uguale al valore assunto nell'origine.
Infatti puoi vedere le funzioni olomorfe come quelle funzioni di due variabili reali che sono soluzione di quel sistema di equazioni alle derivate parziali. Da qui si fanno discendere una miriade di proprietà sorprendenti, tra cui una:
se $f=u+iv$ è olomorfa in un aperto $Omega$, allora $u, v$ sono funzioni armoniche in $Omega$ (i.e. $\frac{\partial ^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0, frac{\partial ^2v}{\partialx^2}+\frac{\partial^2v}{\partialy^2}=0$).
Ora una proprietà caratterizzante le funzioni armoniche è la proprietà della media: se $z\in Omega$ e $r>0$ è abbastanza piccolo perché la circonferenza di centro $z$ e raggio $r$ sia contenuta in $Omega$, allora ($C(z, r)$ sta per "circonferenza di centro $z$ e raggio $r$", percorsa nel verso antiorario):
$u(z)=1/(2 pi r)\int_{C(z, r)}u(x, y) ds, v(z)=1/(2 pi r)\int_{C(z, r)}v(x, y) ds$ (MVP)
ovvero il valore di $u$ e $v$ in un punto è uguale alle medie integrali su una circonferenza di centro il punto stesso. (Questo fatto ha importanza in fisica).
Da qui discende che una funzione olomorfa intera a simmetria radiale è costante. Infatti se $f$ è a simmetria radiale, anche $u, v$ sono a simmetria radiale, quindi costanti sulle circonferenze di centro l'origine; dalle (MVP) segue subito che il valore assunto su ognuna di queste circonferenze è uguale al valore assunto nell'origine.
Ah! Ecco! Sei stato chiarissimo, grazie. Avevo intravisto la proprietà della media, ma non ci avevo pensato!
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