Prolungamento analitico
Salve a tutti,
un esercizio mi chiede di determinare il prolungamento analitico di
$F(z) = int_0^1 x^z (1 - x)^(1 - z) dx$.
Noi di questo argomento non abbiamo fatto praticamente nulla (solo qualche esempio di prolungamento per cerchi), eppure questo è un esercizio
di quelli "papabili" per l'esame.
L'unico esempio più approfondito svolto a lezione è stato il prolungamento della "Gamma" di Eulero:
$Gamma(z) = int_0^(infty) e^(-t) t^(z - 1) dt$
Ho provato a seguire un ragionamento analogo; posto $z = z_r + i z_i$, il modulo dell'integrando è
$|x^z| |(1 - x)^(1 - z)| = |x^(z_r)| |(1 - x)^(1 - z_r)|$.
L'integrale converge sempre se $0 -1$, altrimenti si ha una divergenza.
Questo vuol dire che $Re z > -1$ è il dominio di analiticità della funzione, giusto?
A questo punto, prima di procedere, ho preso ispirazione dalla $Gamma(z)$ e ho definito un integrale del tipo:
$int_(gamma) x^z (1 - x)^(1 - z) dx$, dove $gamma$ è formata da:
un segmento $y = epsilon$, con $x$ che va da $1$ a $-1$
una semicirconferenza di raggio $epsilon$ centrata nel punto $(-1,0)$
un segmento di equazione $y = - epsilon$, con $x$ che va da $-1$ a $1$
(questo non è altro che il "contorno di Hankel" traslato di uno a sinistra e troncato a $x = 1$).
E' questa la strada giusta, o ci sono altri metodi più semplici ed efficaci?
Grazie per l'aiuto
un esercizio mi chiede di determinare il prolungamento analitico di
$F(z) = int_0^1 x^z (1 - x)^(1 - z) dx$.
Noi di questo argomento non abbiamo fatto praticamente nulla (solo qualche esempio di prolungamento per cerchi), eppure questo è un esercizio
di quelli "papabili" per l'esame.
L'unico esempio più approfondito svolto a lezione è stato il prolungamento della "Gamma" di Eulero:
$Gamma(z) = int_0^(infty) e^(-t) t^(z - 1) dt$
Ho provato a seguire un ragionamento analogo; posto $z = z_r + i z_i$, il modulo dell'integrando è
$|x^z| |(1 - x)^(1 - z)| = |x^(z_r)| |(1 - x)^(1 - z_r)|$.
L'integrale converge sempre se $0
Questo vuol dire che $Re z > -1$ è il dominio di analiticità della funzione, giusto?
A questo punto, prima di procedere, ho preso ispirazione dalla $Gamma(z)$ e ho definito un integrale del tipo:
$int_(gamma) x^z (1 - x)^(1 - z) dx$, dove $gamma$ è formata da:
un segmento $y = epsilon$, con $x$ che va da $1$ a $-1$
una semicirconferenza di raggio $epsilon$ centrata nel punto $(-1,0)$
un segmento di equazione $y = - epsilon$, con $x$ che va da $-1$ a $1$
(questo non è altro che il "contorno di Hankel" traslato di uno a sinistra e troncato a $x = 1$).
E' questa la strada giusta, o ci sono altri metodi più semplici ed efficaci?
Grazie per l'aiuto
Risposte
eeeeee caro VINX gli esrcizi gli esercizi del buon moretti non li sa fare proprio nessuno
Speriamo bene per mercoledì...ci vorrebbe il doppio del tempo per fare le cose dignitosamente.
La tua funzione è la Beta di Eulero. Trovi molto materiale in giro per la rete, e importante è la relazione
B(x,y)=(\Gamma(x)\Gamma(y))/\Gamma(x+y).
Ora che ho un po' di tempo ti linko qualcosa, vediamo se nel frattempo qualcuno posta qualcosa di meglio.
B(x,y)=(\Gamma(x)\Gamma(y))/\Gamma(x+y).
Ora che ho un po' di tempo ti linko qualcosa, vediamo se nel frattempo qualcuno posta qualcosa di meglio.
Tanto per tagliare la testa al toro propongo la mia soluzione.
Definisco una nuova funzione: $G(z) = int_(gamma) w^z (1 - w)^(1 - z) dw$ ($w$ complesso).
$gamma$ è il percorso di cui ho parlato sopra, ma "traslato" a destra di uno (la semicirconferenza $gamma_(epsilon)$ è centrata in $0$;
i due segmenti $gamma_1$ : $y = x + i epsilon$ e $gamma_2$ : $y = x - i epsilon$ variano fra 0 e 1).
Si ha quindi che $G(z) = int_(gamma) = int_(gamma_1) + int_(gamma_2) + int_(gamma_(epsilon))$
$int_(gamma_1) = - F(z)$ (se $epsilon$ tende a zero).
Su $gamma_(epsilon)$: $w = epsilon e^(i theta)$, $dw = i epsilon e^(i theta) d theta$
$|int_(gamma_(epsilon))| <= int_(gamma_(epsilon)) |epsilon|^z |e^(i theta z)| |(1 - epsilon e^(i theta))|^(1 - z) |i epsilon| |e^(i theta)| dw$
Il modulo dell'integrando, quindi, va come $|epsilon|^(z + 1)$, quindi l'integrale è nullo.
Per quanto riguarda invece $gamma_2$, si ha $w = rho e^(i 2 pi)$, $dw = d rho e^(i 2 pi)$ (l'angolo è circa uguale a $2 pi$).
Quindi:
$int_(gamma_2) rho^z e^(i 2 pi z) (1 - rho)^(1 - z) d rho = e^(i 2pi z) F(z)$ (infatti $e^(i 2pi) = 1$ e $rho = Re w = x$)
In definitiva si ottiene $G(z) = F(z) (e^(2 i pi z) - 1)$ da cui $F(z) = (G(z))/(e^(2 i pi z) - 1)$
Questo è il prolungamento analitico cercato; infatti, $G(z)$ è definita ovunque, mentre il denominatore si annulla solo se $z$ è un numero intero.
Se $z$ è un intero positivo, però, anche la funzione $G(z)$ si annulla, quindi non ci sono singolarità ($G(z)$ si annulla perchè una potenza con esponente intero,
nel nostro caso $w^z$, non è polidroma; di conseguenza lo $0$ non è più un punto di diramazione, non c'è più una discontinuità di $2 pi$ dell'argomento
nell'attraversamento del semiasse reale positivo e gli integrali lungo $gamma_1$ e $gamma_2$ diventano uguali ed opposti).
Se, invece, $z$ e un intero negativo, allora c'è un numero infinito di singolarità nei punti $z = -1, -2, -3, -4 ......$
Definisco una nuova funzione: $G(z) = int_(gamma) w^z (1 - w)^(1 - z) dw$ ($w$ complesso).
$gamma$ è il percorso di cui ho parlato sopra, ma "traslato" a destra di uno (la semicirconferenza $gamma_(epsilon)$ è centrata in $0$;
i due segmenti $gamma_1$ : $y = x + i epsilon$ e $gamma_2$ : $y = x - i epsilon$ variano fra 0 e 1).
Si ha quindi che $G(z) = int_(gamma) = int_(gamma_1) + int_(gamma_2) + int_(gamma_(epsilon))$
$int_(gamma_1) = - F(z)$ (se $epsilon$ tende a zero).
Su $gamma_(epsilon)$: $w = epsilon e^(i theta)$, $dw = i epsilon e^(i theta) d theta$
$|int_(gamma_(epsilon))| <= int_(gamma_(epsilon)) |epsilon|^z |e^(i theta z)| |(1 - epsilon e^(i theta))|^(1 - z) |i epsilon| |e^(i theta)| dw$
Il modulo dell'integrando, quindi, va come $|epsilon|^(z + 1)$, quindi l'integrale è nullo.
Per quanto riguarda invece $gamma_2$, si ha $w = rho e^(i 2 pi)$, $dw = d rho e^(i 2 pi)$ (l'angolo è circa uguale a $2 pi$).
Quindi:
$int_(gamma_2) rho^z e^(i 2 pi z) (1 - rho)^(1 - z) d rho = e^(i 2pi z) F(z)$ (infatti $e^(i 2pi) = 1$ e $rho = Re w = x$)
In definitiva si ottiene $G(z) = F(z) (e^(2 i pi z) - 1)$ da cui $F(z) = (G(z))/(e^(2 i pi z) - 1)$
Questo è il prolungamento analitico cercato; infatti, $G(z)$ è definita ovunque, mentre il denominatore si annulla solo se $z$ è un numero intero.
Se $z$ è un intero positivo, però, anche la funzione $G(z)$ si annulla, quindi non ci sono singolarità ($G(z)$ si annulla perchè una potenza con esponente intero,
nel nostro caso $w^z$, non è polidroma; di conseguenza lo $0$ non è più un punto di diramazione, non c'è più una discontinuità di $2 pi$ dell'argomento
nell'attraversamento del semiasse reale positivo e gli integrali lungo $gamma_1$ e $gamma_2$ diventano uguali ed opposti).
Se, invece, $z$ e un intero negativo, allora c'è un numero infinito di singolarità nei punti $z = -1, -2, -3, -4 ......$
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