Prolungabilità soluzione problema di cauchy
ciao a tutti! ho un problema con la soluzione di un esercizio proposto dal libro (eserciziario boella vol2):
$ y'= y/t + 12t^2 $ passante per $ (t=1,y=7) $
il libro dice:
abbiamo un'equazione lineare del primo ordine e grazie alla teoria si può affermare che la soluzione esiste unica in $ (0,+\infty) $
si svolgono i calcoli e si trova $ y= t + 6t^3 $
fino a qui sono d'accordo col libro
poi il libro afferma: " la $ y $ trovata è continua e derivabile in tutto R e quindi è possibile prolungarla e dire che $ y $ è soluzione del problema di cauchy in tutto R "
bene io non capisco come mai il libro sorvoli il fatto che per $ t=0 $ $ y' = y/t + 12t^2 $ palesemente non è definita
io avrei detto che $ y= t + 6t^3 $ è soluzione su $ (0,+\infty) $
$ y'= y/t + 12t^2 $ passante per $ (t=1,y=7) $
il libro dice:
abbiamo un'equazione lineare del primo ordine e grazie alla teoria si può affermare che la soluzione esiste unica in $ (0,+\infty) $
si svolgono i calcoli e si trova $ y= t + 6t^3 $
fino a qui sono d'accordo col libro
poi il libro afferma: " la $ y $ trovata è continua e derivabile in tutto R e quindi è possibile prolungarla e dire che $ y $ è soluzione del problema di cauchy in tutto R "
bene io non capisco come mai il libro sorvoli il fatto che per $ t=0 $ $ y' = y/t + 12t^2 $ palesemente non è definita
io avrei detto che $ y= t + 6t^3 $ è soluzione su $ (0,+\infty) $
Risposte
pensa che io non sono neanche d'accordo sul fatto che $y=t+t^3$ sia soluzione visto che ,andando a a sostituire,si avrebbe da una parte $1+3t^2$ e dall'altra $1+13t^2$
non si ha neanche $y(1)=7$
non si ha neanche $y(1)=7$
Si scusa avevo sbagliato a scrivere ho corretto
ok,detto questo,anche per me l'intervallo massimale è $(0,+infty)$
Non so cosa pensare.. Che sia davvero sbagliato il libro?
data $y'=f(t,y)$, per me è inammissibile che si esca dal dominio di $f(t,y)$
Eh é la stessa cosa che penso anch'io, c'è n'é anche un secondo in cui fa la stessa cosa (dedica un paragrafo intero ai problemi di sto tipo).. Magari adesso scrivo anche gli altri in attesa di ulteriori pareri
il libro dedica 3 esercizi all'argomento "esistenza e prolungabilità delle soluzioni"..a questo punto scrivo anche gli altri 2 per mostrare meglio la politica seguita dall'autore a riguardo:
1) $ y' = -2t/(t^2 + 1)y + 7/t^(2/3) $ passante per $ (t=1, y=14) $
--> $ y= (4 + 3t^(1/3)(7 + t^2))/(1 + t^2) $ è soluzione in $ (0,+\infty) $ poichè " $ y $ è definita e continua in tutto R ma non è derivabile in $ t = 0 $ "
2) $ y' = (tant)y + 6sin2t $ passante per $ (t=0,y=-4) $
--> $ y = -4(cost)^2 $ è soluzione in tutto R poichè è ivi continua e derivabile
1) $ y' = -2t/(t^2 + 1)y + 7/t^(2/3) $ passante per $ (t=1, y=14) $
--> $ y= (4 + 3t^(1/3)(7 + t^2))/(1 + t^2) $ è soluzione in $ (0,+\infty) $ poichè " $ y $ è definita e continua in tutto R ma non è derivabile in $ t = 0 $ "
2) $ y' = (tant)y + 6sin2t $ passante per $ (t=0,y=-4) $
--> $ y = -4(cost)^2 $ è soluzione in tutto R poichè è ivi continua e derivabile
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