Prolungabilità soluzione equazioni differenziali
Ciao a tutti, ho qualche problema a comprendere alcuni aspetti della prolungabilità delle soluzioni per le equazioni differenziali. Parto con un esempio per essere chiara:
$y'=y/x-1/y=f(x,y)$
$y(2)=1$
La soluzione è la metà superiore di un ellisse:
$y(x)=sqrt(-3/4 x^2+2x)$
Dunque l'intervallo massimale di esistenza della soluzione è dato da ]0,8/3[.
So che un teorema (chiamato dal mio professore "della scatola", ma ho sentito anche dire "di fuga dai compatti") afferma che, comunque preso un compatto che contiene la condizione iniziale, si ha che la soluzione massimale raggiunge la frontiera del compatto (e poi esce).
So anche che il compatto in questione deve essere contenuto nell'insieme di definizione di $f(x,y)$, che in questo caso è dato da R^2 esclusi gli assi.
Ma nell'esempio che ho riportato sopra se prendo qualsiasi compatto contenente la condizione iniziale e ]0,8/3[ ho che la soluzione non potrà mai uscire poiché non è definita per x<=0 e x>=8/3, ma non ha nemmeno asintoti verticali in corrispondenza di tali punti!
Ho un po' di confusione in testa, qualcuno può aiutarmi?
$y'=y/x-1/y=f(x,y)$
$y(2)=1$
La soluzione è la metà superiore di un ellisse:
$y(x)=sqrt(-3/4 x^2+2x)$
Dunque l'intervallo massimale di esistenza della soluzione è dato da ]0,8/3[.
So che un teorema (chiamato dal mio professore "della scatola", ma ho sentito anche dire "di fuga dai compatti") afferma che, comunque preso un compatto che contiene la condizione iniziale, si ha che la soluzione massimale raggiunge la frontiera del compatto (e poi esce).
So anche che il compatto in questione deve essere contenuto nell'insieme di definizione di $f(x,y)$, che in questo caso è dato da R^2 esclusi gli assi.
Ma nell'esempio che ho riportato sopra se prendo qualsiasi compatto contenente la condizione iniziale e ]0,8/3[ ho che la soluzione non potrà mai uscire poiché non è definita per x<=0 e x>=8/3, ma non ha nemmeno asintoti verticali in corrispondenza di tali punti!
Ho un po' di confusione in testa, qualcuno può aiutarmi?
Risposte
confesso che non conosco questo teorema, ma a me sembra scontato che la soluzione non possa "uscire" dal suo campo di esistenza; tenendo inoltre conto dell'espressione della f,secondo me l'intervallo massimale è quello da te riportato
gli asintoti verticali sono una condizione sufficiente ma non necessaria per la non prolungabilità
gli asintoti verticali sono una condizione sufficiente ma non necessaria per la non prolungabilità
Facendo un disegnino:
[asvg]xmin=-2; xmax=4; ymin=-2; ymax=4;
axes("","");
path([[0.3,0.2],[4,0.2],[4,3.7],[0.3,3.7],[0.3,0.2]]);
stroke="red"; line([-3,0],[5,0]); line([0,-3],[0,5]);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; plot("sqrt(2*x - 0.75*x^2)",0,2.6666);
dot([2,1]);[/asvg]
A me pare di vedere che la soluzione esca decisamente dalla scatola... O no?
[asvg]xmin=-2; xmax=4; ymin=-2; ymax=4;
axes("","");
path([[0.3,0.2],[4,0.2],[4,3.7],[0.3,3.7],[0.3,0.2]]);
stroke="red"; line([-3,0],[5,0]); line([0,-3],[0,5]);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; plot("sqrt(2*x - 0.75*x^2)",0,2.6666);
dot([2,1]);[/asvg]
A me pare di vedere che la soluzione esca decisamente dalla scatola... O no?
Grazie gugo82, credo di avere capito! Dunque l'inghippo sta nel fatto che, essendo l'intervallo massimale aperto, posso sempre trovare dei valori "più vicini all'asse x" rispetto al bordo della scatola.
L'intervallo massimale?
Se intendi l'insieme di definizione della soluzione massimale, no, esso non c'entra nulla.
Il problema è che l'insieme di definizione del secondo membro è:
\[
\Omega := \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\neq 0 \text{ ed } y\neq 0\right\}
\]
formato dall'unione dei quattro quadranti aperti e che i compatti in esso contenuti sono "ben distanti" da \(\partial \Omega\), mentre il grafico della soluzione del PdC tende ad avvicinarsi sempre più al bordo dell'aperto di definizione della EDO.
Chiaramente, il grafico della soluzione massimale del PdC assegnato deve giacere interamente in una componente connessa di \(\Omega\) (poiché, se ciò non accadesse, esso attraverserebbe la frontiera di \(\Omega\) e la EDO perderebbe di significato) e ciò importa che la soluzione massimale deve essere definita in un intervallo \(]X_-,X^+[\) interamente contenuto o in \(]-\infty ,0 [\) o in \(]0,\infty[\) ed assumere sempre o valori \(>0\) o valori \(<0\).
Dato che il punto iniziale \((x_0,y_0)=(2,1)\) è nel primo quadrante, la soluzione massimale del PdC ha il grafico nel primo quadrante, ossia hai certamente \(0\leq X_-<20\).
Stabilito ciò, prendi un qualsiasi compatto \(K\subset \Omega\); chiaramente, \(K\) è interamente contenuto in uno dei quattro quadranti e, per ovvi motivi, i punti di \(K\) si tengono "ben distanti" dalla frontiera di \(\Omega\) (prova a dimostrarlo!). Conseguentemente, l'unico modo che hai per scegliere un compatto contenente la condizione iniziale è quello di prenderlo interamente contenuto nel primo quadrante aperto (e perciò il disegnino che avevo fatto sopra era bagliato... Ora l'ho corretto!).
Ma allora sei proprio nel caso del disegnino e ti convinci che effettivamente la soluzione del PdC attraversa la frontiera di \(K\), nonostante il grafico della soluzione non esca dal primo quadrante aperto.
Se intendi l'insieme di definizione della soluzione massimale, no, esso non c'entra nulla.
Il problema è che l'insieme di definizione del secondo membro è:
\[
\Omega := \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\neq 0 \text{ ed } y\neq 0\right\}
\]
formato dall'unione dei quattro quadranti aperti e che i compatti in esso contenuti sono "ben distanti" da \(\partial \Omega\), mentre il grafico della soluzione del PdC tende ad avvicinarsi sempre più al bordo dell'aperto di definizione della EDO.
Chiaramente, il grafico della soluzione massimale del PdC assegnato deve giacere interamente in una componente connessa di \(\Omega\) (poiché, se ciò non accadesse, esso attraverserebbe la frontiera di \(\Omega\) e la EDO perderebbe di significato) e ciò importa che la soluzione massimale deve essere definita in un intervallo \(]X_-,X^+[\) interamente contenuto o in \(]-\infty ,0 [\) o in \(]0,\infty[\) ed assumere sempre o valori \(>0\) o valori \(<0\).
Dato che il punto iniziale \((x_0,y_0)=(2,1)\) è nel primo quadrante, la soluzione massimale del PdC ha il grafico nel primo quadrante, ossia hai certamente \(0\leq X_-<2
Stabilito ciò, prendi un qualsiasi compatto \(K\subset \Omega\); chiaramente, \(K\) è interamente contenuto in uno dei quattro quadranti e, per ovvi motivi, i punti di \(K\) si tengono "ben distanti" dalla frontiera di \(\Omega\) (prova a dimostrarlo!). Conseguentemente, l'unico modo che hai per scegliere un compatto contenente la condizione iniziale è quello di prenderlo interamente contenuto nel primo quadrante aperto (e perciò il disegnino che avevo fatto sopra era bagliato... Ora l'ho corretto!
).Ma allora sei proprio nel caso del disegnino e ti convinci che effettivamente la soluzione del PdC attraversa la frontiera di \(K\), nonostante il grafico della soluzione non esca dal primo quadrante aperto.
Sei stato chiarissimo! Il mio professore ha fatto esempi solo con funzioni definite su tutto R, e quindi avevo qualche problema a immaginare il comportamento di soluzioni definite su intervalli. Grazie!
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