Prolungabilità per continuità funzione di due variabili
Salve ragazzi, buona serata a tutti.. avrei un dubbietto da provi se possibile.
Mi si chiede di calcolare la prolungabilità per continuità nei punti delle due bisettrici della funzione $(x^2+2xy)/(x^2-y^2)$
Io avrei proceduto così, vedo se è prolungabile prima nei punti della bisettrice del I e III quadrante, ovvero:
$\lim_{x,y \to \x0,x0}(x^2+2xy)/(x^2-y^2)=infty$
questo è vero per tutti i punti della prima bisettrice, quindi anche per (0,0) quindi anche per tutti i punti dell'altra bisettrice, quindi concludo che non è prolungabile per continuità nei punti delle due bisettrici.
Cosa c'è di sbagliato in questo ragaionamento?
La mia prof. non accetta questo metodo ma fa la seguente:
Sia $P(x0,y0)$ tale che $x0^2=y0^2$ e $P!=(0,0)$
Poichè $\lim_{x,y \to \x0,x0}(x^2+2xy)!=0 => \lim_{x,y \to \x0,x0}|(f(x,y)|=infty$
$\lim_{x,y \to \0,0}(x^2+2xy)/(x^2-y^2)=(1+2m)/(1-m^2)=>\nexists$ il limite globale in $(0,0)$
Qualcuno mi potrebbe dire cosa combina? Perchè si studia a parte il punto (0,0)?
Perchè si studia l'altra in valore assoluto? Se l'avesse fatta per $(x,y)rarr(x0,-x0)$ ovvero i punti dell'altra bisettrice sarebbe venuto $-1/2$..
Grazie in anticipo a tutti!
Mi si chiede di calcolare la prolungabilità per continuità nei punti delle due bisettrici della funzione $(x^2+2xy)/(x^2-y^2)$
Io avrei proceduto così, vedo se è prolungabile prima nei punti della bisettrice del I e III quadrante, ovvero:
$\lim_{x,y \to \x0,x0}(x^2+2xy)/(x^2-y^2)=infty$
questo è vero per tutti i punti della prima bisettrice, quindi anche per (0,0) quindi anche per tutti i punti dell'altra bisettrice, quindi concludo che non è prolungabile per continuità nei punti delle due bisettrici.
Cosa c'è di sbagliato in questo ragaionamento?
La mia prof. non accetta questo metodo ma fa la seguente:
Sia $P(x0,y0)$ tale che $x0^2=y0^2$ e $P!=(0,0)$
Poichè $\lim_{x,y \to \x0,x0}(x^2+2xy)!=0 => \lim_{x,y \to \x0,x0}|(f(x,y)|=infty$
$\lim_{x,y \to \0,0}(x^2+2xy)/(x^2-y^2)=(1+2m)/(1-m^2)=>\nexists$ il limite globale in $(0,0)$
Qualcuno mi potrebbe dire cosa combina? Perchè si studia a parte il punto (0,0)?
Perchè si studia l'altra in valore assoluto? Se l'avesse fatta per $(x,y)rarr(x0,-x0)$ ovvero i punti dell'altra bisettrice sarebbe venuto $-1/2$..
Grazie in anticipo a tutti!
Risposte
Dovresti mostrare come tu hai ottenuto che quel limite è $\infty$.
.ds
Perchè viene 1/0
Nell'origine no, è per questo che va studiata a parte.
potresti spiegarmi un pò meglio?
Basta prendere le due restrizioni $f|_(x=0)$ e $f|_(y=0)$ e vedi che per una la funzione tende a 0, l'altra tende a 1, quindi il limite in 0 non esiste
Sicuro che tendaa più infinito lungo le bisettrici? A me sembra ad esempio che presa la retta $y=2x_0-x$ si ha $lim_(x->x_0^+)f|_(2x_0-x)=-oo$ mentre $lim_(x->x_0^-)f|_(2x_0-x)->-oo$...
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