Prolungabilità e non derivabilità

[CeRobotNXT]

Ciao a tutti,
nel corso di analisi 1 che sto frequentando abbiamo affrontato tra i vari argomenti anche due relativamente semplici: la prolungabilità di una funzione in un punto e i punti di non derivabilità.
Su entrambi però ho una perplessità perssochè simile:
infatti in quale occasione, data una funzione, mi conviene andare a verificare la sua prolungabilità in un determinato punto?
Mentre i punti di derivabilità li cerco negli eventuali punti di discontinuità(o di accumulazione) presenti nel dominio della funzione derivata prima?
Grazie anticipatamente a tutti.

[Zilpha]

in quale occasione, data una funzione, mi conviene andare a verificare la sua prolungabilità in un determinato punto?

Dipende molto da ciò che ti viene richiesto, per esempio se devi fare lo studio di una funzione, oppure calcolare un limite, hai bisogno di sapere dove la funzione è continua e qualora ci siano punti di discontinuità, sapere che tipo di discontinuità presentano. Per chiarire meglio (ma credo che dovresti già saperlo)un punto $ x0 $ è di"discontinuità eliminabile"quando il limite destro della funzione per x che tende a x0 è uguale a quello sinistro, con entrambi valori finiti, ma x0 non è contenuto nel dominio oppure il valore di f in x0 non coincide con questi limiti. in tal caso si elimina la discontinuità e, cioè, si prolunga la funzione nel punto x0, ponendo $ f(x0)=lim_(x -> x0)f(x) $

Dovresti già sapere inoltre che una funzione è derivabile nel punto x se esiste finito il limite del rapporto incrementale $ lim_(h -> 0)(f(x+h)-f(x)) / h $. Generalmente ti viene richiesto espressamente di controllare che una funzione sia derivabile in un certo punto e, comunque, lo si controlla in questo modo, non ricorrendo al dominio della derivata prima.

Spero di aver chiarito qualche dubbio, sei ancora un pò confuso, ma credo che man mano che andrai avanti nello studio comincerai a metabolizzare questi concetti e a capirli a fondo, soprattutto con molto esercizio. ciao

[CeRobotNXT]

Si questo è chiaro. Quindi alla fine secondo me dipende anche dalla presenza o meno di valori assoluti e dalle radici quadrate. Infatti nel primo caso devo tener conto tutti gli zeri della funzione.Invece nel secondo appunto di tutte le x che m annullano il radicando per ovvi motivi.
Invece volevo sapere adesso un'altra sottile ma fondamentale differenza ed in più una definizione.
Allora: qual è la differenza tra differenziabilità e derivabilità? Che cosa significa differenziabilità? E poi che cosa indica il differenziale del primo ordine?
Grazie anticipatamente a tutti.