Prolungabilità di una soluzione di un problema di Cauchy
Ciao!
Ho un problema riguardo alla ricerca di soluzioni non prolungabili di problemi di Cauchy relativi a equazioni differenziali del primo ordine tramite il metodo di separazione delle variabili.
In base a questo metodo riesco a determinare una soluzione locale del problema, però vorrei capire come devo ragionare in generale per capire qual è il dominio della soluzione non prolungabile.
In particolare il mio problema di Cauchy è:
$y'=2tsqrt(1-y^2)$
$y(0)=1/2$
Risolvendo con questo metodo determino come soluzione $\sen(t^2+\pi/6)$ definita su $[-sqrt(\pi/3),-sqrt(\pi/3)]$, ma come faccio a capire se si può ulteriormente prolungare?
Grazie!
Ho un problema riguardo alla ricerca di soluzioni non prolungabili di problemi di Cauchy relativi a equazioni differenziali del primo ordine tramite il metodo di separazione delle variabili.
In base a questo metodo riesco a determinare una soluzione locale del problema, però vorrei capire come devo ragionare in generale per capire qual è il dominio della soluzione non prolungabile.
In particolare il mio problema di Cauchy è:
$y'=2tsqrt(1-y^2)$
$y(0)=1/2$
Risolvendo con questo metodo determino come soluzione $\sen(t^2+\pi/6)$ definita su $[-sqrt(\pi/3),-sqrt(\pi/3)]$, ma come faccio a capire se si può ulteriormente prolungare?
Grazie!
Risposte
Sì, penso anch'io che valga la pena darci un'occhiata. 
La malignità dell'esercizio sta nel fatto di avere $sqrt{1-y^2}$ che ti fa saltare la lipschitzianità quando la $y(t)$ assume il valore 1, per cui servono le considerazioni fatte a suo tempo da ViciousGoblin
La malignità dell'esercizio sta nel fatto di avere $sqrt{1-y^2}$ che ti fa saltare la lipschitzianità quando la $y(t)$ assume il valore 1, per cui servono le considerazioni fatte a suo tempo da ViciousGoblin
Vi ringrazio, ma non riesco a seguire il vecchio post perchè ho trattato solo i problemi di Cauchy, studiando qualche teorema di unicità della soluzione in un intorno del dato iniziale e in questo caso riesco a trovare una soluzione su un intervallo chiuso e dal momento in cui non è lipschitziana non riesco a capire se posso prolungarla ed eventualmente come farlo.
Riuscite a darmi una mano lo stesso?
Grazie!
Riuscite a darmi una mano lo stesso?
Grazie!
Sinceramente credo che potresti sforzarti un po' di più.
Hai persino il grafico delle direzioni, postato da dissonance. Per non ri-citare il post di ViciousGoblin
Hai persino il grafico delle direzioni, postato da dissonance. Per non ri-citare il post di ViciousGoblin
insomma ci proverò... ma non ti arrabbiare 
!
Comunque grazie!
!Comunque grazie!
In queste due porzioni di pagina c'è l'esempio classico cui l'esercizio da te indicato fa il verso (in particolare, Esempio 14.4) :
http://www.diptem.unige.it/patrone/Page ... ale_01.pdf
http://www.diptem.unige.it/patrone/Page ... ale_02.pdf
http://www.diptem.unige.it/patrone/Page ... ale_01.pdf
http://www.diptem.unige.it/patrone/Page ... ale_02.pdf
Davvero gentile 
! Grazie!
! Grazie!
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