Prolungabilità con continuità in 2 variabili
Ciao a tutti, ho difficoltà con questo problema. Mi viene data questa funzione: $ f(x,y)=sinx^alphay/(1-e^(x^2+y^2) $ ,
E' richiesto che si determini per quali valori di $alpha$ essa è prolungabile con continuità nell'origine. Credo che con questo chiedano per quali $alpha$ il limite esiste finito. Passo in coordinate polari e provo a maggiorare:
$ f(rho,theta)= sin(rho^(alpha+1)cos^(alpha)thetasintheta)/(1-e^(rho^2) $
Maggioro il modulo con: $ abs((rho^(alpha+1)cos^(alpha)thetasintheta)/(1-e^(rho^2)) $ e infine maggioro ancora e uso una stima asintotica, ho considerato quindi solo $alpha > 0$ altrimenti il coseno era al denominatore.
$ (rho^(alpha+1))/(-rho^2) $, ho eliminato la dipendenza dall'angolo per cui mi basta che questo tenda a zero, il che succede per $alpha >= 1$. Ho dimostrato che per quei valori il limite esiste finito e infatti è quella la risposta. Il problema però è come dimostrare che il limite o non esiste o è infinito per gli altri valori di $alpha$. Qualcuno mi può aiutare? C'è qualcosa che non vedo?
E' richiesto che si determini per quali valori di $alpha$ essa è prolungabile con continuità nell'origine. Credo che con questo chiedano per quali $alpha$ il limite esiste finito. Passo in coordinate polari e provo a maggiorare:
$ f(rho,theta)= sin(rho^(alpha+1)cos^(alpha)thetasintheta)/(1-e^(rho^2) $
Maggioro il modulo con: $ abs((rho^(alpha+1)cos^(alpha)thetasintheta)/(1-e^(rho^2)) $ e infine maggioro ancora e uso una stima asintotica, ho considerato quindi solo $alpha > 0$ altrimenti il coseno era al denominatore.
$ (rho^(alpha+1))/(-rho^2) $, ho eliminato la dipendenza dall'angolo per cui mi basta che questo tenda a zero, il che succede per $alpha >= 1$. Ho dimostrato che per quei valori il limite esiste finito e infatti è quella la risposta. Il problema però è come dimostrare che il limite o non esiste o è infinito per gli altri valori di $alpha$. Qualcuno mi può aiutare? C'è qualcosa che non vedo?
Risposte
Scusate la poca chiarezza nel primo messaggio. Adesso provo a spiegarmi meglio:
$ abs(f(rho,theta)) = abs(sin(rho^(alpha+1)cos^(alpha)thetasintheta)/(1-e^(rho^2)) $. uso questa maggiorazione $sinabs(x)<=abs(x)$ e quindi ho:
$ abs(f(rho, theta)) <= abs((rho^(alpha+1)cos^(alpha)thetasintheta)/(1-e^(rho^2))) $, dopo questo uso la stima asintotica $e^x - 1 ~ x$ per $ x -> 0 $ e quindi la maggiorazione è asintotica a:
$ abs((rho^(alpha+1)cos^(alpha)thetasintheta)/-rho^2) $, infine maggioro il numeratore (per $alpha$ > 0 perché altrimenti il coseno è al denominatore).
$ abs(rho^(alpha+1)/-rho^2) $
Mi sono sbagliato prima dicendo che il limite esiste per $alpha = 1$. Comunque, il fatto che non si riesca a determinare il limite con le coordinate polari non permette di concludere che per agli altri valori di $alpha$ il limite non esiste oppure è infinito. Quindi in qualche modo devo dimostrarlo, vero?
$ abs(f(rho,theta)) = abs(sin(rho^(alpha+1)cos^(alpha)thetasintheta)/(1-e^(rho^2)) $. uso questa maggiorazione $sinabs(x)<=abs(x)$ e quindi ho:
$ abs(f(rho, theta)) <= abs((rho^(alpha+1)cos^(alpha)thetasintheta)/(1-e^(rho^2))) $, dopo questo uso la stima asintotica $e^x - 1 ~ x$ per $ x -> 0 $ e quindi la maggiorazione è asintotica a:
$ abs((rho^(alpha+1)cos^(alpha)thetasintheta)/-rho^2) $, infine maggioro il numeratore (per $alpha$ > 0 perché altrimenti il coseno è al denominatore).
$ abs(rho^(alpha+1)/-rho^2) $
Mi sono sbagliato prima dicendo che il limite esiste per $alpha = 1$. Comunque, il fatto che non si riesca a determinare il limite con le coordinate polari non permette di concludere che per agli altri valori di $alpha$ il limite non esiste oppure è infinito. Quindi in qualche modo devo dimostrarlo, vero?
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