Proiezioni in spazi di Banach
Ciao a tutti!
stavo pensando, in quanto mi serve per una dimostrazione, di poter generalizzare il concetto di proiettore noto in un qualsiasi spazio d Hilbert su un convesso chiuso.
Facilitiamo le cose: consideriamo un sottospazio chiuso $F$ di uno spazio di Banach $E$.
Allora mi verrebbe da scrivere [tex]\pi_F:E\to F[/tex] tale che [tex]\pi_F(x)=P_x=\displaytyle\inf_{m\in F}|| m-x ||[/tex].
Vorrei quindi dimostrare che questo oggetto è ben definito, cioè che $P_x$ vive nel sottospazio, ma non riesco. Forse sono troppo legato alla conoscenza della dimostrazione negli spazi di Hilbert di questo fatto che non può essere usata in quanto, nel mio caso, non ho prodotti interni).
Però sono sicuro che quello che ho scritto ha senso...
Voi avreste delle idee a riguardo?... ok, parto a considerare una successione $v_n$ per cui [tex]|| v_n -x|| \to P_x[/tex] e se dimostro che questa è di Cauchy, essendo $F$ chiuso ho finito (esattamente come avviene in uno spazio di Hilbert), ma in uno spazio di Banach questa successione è di Cauchy?
stavo pensando, in quanto mi serve per una dimostrazione, di poter generalizzare il concetto di proiettore noto in un qualsiasi spazio d Hilbert su un convesso chiuso.
Facilitiamo le cose: consideriamo un sottospazio chiuso $F$ di uno spazio di Banach $E$.
Allora mi verrebbe da scrivere [tex]\pi_F:E\to F[/tex] tale che [tex]\pi_F(x)=P_x=\displaytyle\inf_{m\in F}|| m-x ||[/tex].
Vorrei quindi dimostrare che questo oggetto è ben definito, cioè che $P_x$ vive nel sottospazio, ma non riesco. Forse sono troppo legato alla conoscenza della dimostrazione negli spazi di Hilbert di questo fatto che non può essere usata in quanto, nel mio caso, non ho prodotti interni).
Però sono sicuro che quello che ho scritto ha senso...
Voi avreste delle idee a riguardo?... ok, parto a considerare una successione $v_n$ per cui [tex]|| v_n -x|| \to P_x[/tex] e se dimostro che questa è di Cauchy, essendo $F$ chiuso ho finito (esattamente come avviene in uno spazio di Hilbert), ma in uno spazio di Banach questa successione è di Cauchy?
Risposte
Se $E$ è uno spazio di Banach riflessivo e $F$ è un suo sottospazio chiuso, penso si possa ragionare così:
sia $x\in E$ fissato, e consideriamo l'applicazione $\phi:F\to\mathbb{R}$, $\phi(m) := ||x-m||$.
Allora $\phi$ è convessa, continua, e $\phi(m) \to +\infty$ quando $||m||\to +\infty$.
Di conseguenza $\phi$ ammette un punto di minimo in $F$ (cfr. Brezis, Coroll. III.20).
sia $x\in E$ fissato, e consideriamo l'applicazione $\phi:F\to\mathbb{R}$, $\phi(m) := ||x-m||$.
Allora $\phi$ è convessa, continua, e $\phi(m) \to +\infty$ quando $||m||\to +\infty$.
Di conseguenza $\phi$ ammette un punto di minimo in $F$ (cfr. Brezis, Coroll. III.20).
E aggiungo: se lo spazio di Banach non è riflessivo non puoi definire una applicazione del genere. Già su $RR^2$ con la norma $|*|_{\infty}$ non ci riesci. Ad esempio quale sarebbe l'elemento del sottospazio "asse y" di minima distanza dal vettore $(1, 0)$? Ce ne sono infiniti: tutti i $(0, \alpha)$ con $-1<=\alpha<=1$ distano $1$, il minimo, da $(1, 0)$.
Vale infatti il seguente risultato.
Uno spazio di Banach $E$ è riflessivo se e solo se per ogni suo sottospazio chiuso $F$ vale la seguente proprietà:
per ogni $x\in E$ esiste $m\in F$ tale che $||x-m|| = dist(x, F)$.
Uno spazio di Banach $E$ è riflessivo se e solo se per ogni suo sottospazio chiuso $F$ vale la seguente proprietà:
per ogni $x\in E$ esiste $m\in F$ tale che $||x-m|| = dist(x, F)$.
@Rigel: Aaaahhhnnn... Ecco da dove discende il teorema di Milman (ogni spazio uniformemente convesso è riflessivo). O mi sbaglio?
[edit] Ho visto che si chiama teorema di Milman e non di Millman: quest'ultimo è un risultato diverso che riguarda l'ingegneria.[/edit]
[edit] Ho visto che si chiama teorema di Milman e non di Millman: quest'ultimo è un risultato diverso che riguarda l'ingegneria.[/edit]
Il teorema di Milman è solo una condizione sufficiente, di natura geometrica; la caratterizzazione scritta sopra è invece una condizione necessaria e sufficiente (dimostrata da James nel 1964). Il teor di Milman ha una dimostrazione piuttosto semplice che non fa uso del risultato di James.
Capisco. Grazie molte, Rigel!
"Rigel":
Se $E$ è uno spazio di Banach riflessivo e $F$ è un suo sottospazio chiuso, penso si possa ragionare così:
sia $x\in E$ fissato, e consideriamo l'applicazione $\phi:F\to\mathbb{R}$, $\phi(m) := ||x-m||$.
Allora $\phi$ è convessa, continua, e $\phi(m) \to +\infty$ quando $||m||\to +\infty$.
Di conseguenza $\phi$ ammette un punto di minimo in $F$ (cfr. Brezis, Coroll. III.20).
"dissonance":
E aggiungo: se lo spazio di Banach non è riflessivo non puoi definire una applicazione del genere. Già su $R^2$ con la norma $|⋅|_{\infty}$ non ci riesci. Ad esempio quale sarebbe l'elemento del sottospazio "asse y" di minima distanza dal vettore (1,0)? Ce ne sono infiniti: tutti i (0,α) con $-1≤\alpha≤1$ distano 1, il minimo, da (1,0).
grazie mille ad entrambi per le delucidazioni e il riferimento bibliografico
!... mi sa tanto che devo cambiare strategia di dimostrazione allora
...
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