Proiezione curva su piano

[LukeV98]

Devo proiettare la curva $r(t) = ti+tj+t^2k$ sul piano $x=y$. Come posso fare?
Il prodotto scalare dovrebbe avere la funzione di "proiettare" però non saprei come applicarlo per risolvere l'esercizio.

Grazie

[anto_zoolander]

Ciao!
In genere per gli spazi euclidei c'è una beautiful proprietà che ti permette di calcolare la proiezione di un punto(e quindi di ogni punto) su un sottospazio affine.

se $(A,V)$ è un $RR$ spazio affine euclideo. Sia $B:=P+W$ un sottospazio(proprio) affine e sia $XnotinB$ allora,

$d(B,X):= i n f{ ||QX|| : Q in A}=||PX-pi(PX)||$

e in particola $Q=P+pi(PX)$ è la proiezione di $X$ su $B$

ricorda che fissata una base $$ ortogonale di $W$ allora

$pi(u)=sum_(k=1)^(m)(u*w_j)/(w_j*w_j)*w_j$

[size=70]

$||QX||^2=||QP+PX||=||(QP+pi(PX))+(PX-pi(PX))||^2=||QP+pi(PX)||^2+||PX-pi(PX)||^2geq||PX-pi(PX)||^2$

[/size]

di fatto $QP$ e $pi(PX)$ stanno in $W$ e $PX-pi(PX)$ sta nell'ortogonale.

quindi è un punto $Q in B$ tale che $PQ=pi(PX) => Q=P+pi(PX)$

nota che non dipende dal punto del piano che consideriamo, infatti posti i punti:

sia $R in B$ allora;

$PX-pi(PX)=PR+RX-pi(PR+RX)=(PR-pi(PR))+(RX-pi(RX))$

essendo che $R in B$ allora $PR in W => pi(PR)=PR => PR-pi(PR)=0$ e quindi

$PX-pi(PX)=RX-pi(RX)=> XP+pi(PX)=XR+pi(RX) => P+pi(PX)=R+pi(RX)$

dove nell'ultima si è usato che $P+(v+w)=(P+v)+w$

quindi considerando che il piano passa per il punto $(0,0,0)$ e che una base ortogonale della giacitura del piano sarà $<(1,1,0),(0,0,1)>$ sfruttando quanto visto...

PS: facendo i conti vedrai come ti tornerà la stessa curva, ossia che è già contenuta nel piano.