Progressione geometrica

[Gnex90]

Ciao raga,
sono ore che stò perdendo tempo su questo esercizio:


si tratta di serie geometriche quindi dovrebbe essere:

\[ \frac{1}{1+q}=16 \] segue che \[q= \frac{15}{16} \]
stessa cosa per 4, e poi non so come proseguire...ammesso che abbia fatto giusto....

[gugo82]

Dato che i termini sono in progressione geometrica, si ha necessariamente:
\[
a_n=a\ q^n
\]
ove \(a\neq 0\) è il termine iniziale della progressione e \(q\neq 0\) ne è la ragione.
Conseguentemente:
\[
a_{2k-1} = a\ q^{2k-1} = \frac{a}{q}\ (q^2)^k \qquad \text{e} \qquad a_{2k} = a\ q^{2k} = a\ (q^2)^k
\]
quindi, supponendo \(q^2<1\) (ossia \(|q|<1\)), si trova:
\[
\begin{split}
\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1} &= \frac{a}{q}\ \sum_{k=1}^\infty (q^2)^k \\
&= \frac{a}{q}\ \left( \sum_{k=0}^\infty (q^2)^k -1\right) \\
&= \frac{a}{q}\ \left( \frac{1}{1-q^2} -1\right) \\
&= \frac{a}{q}\ \frac{q^2}{1-q^2} \\
&= \frac{a\ q}{1-q^2}
\end{split}
\]
e:
\[
\begin{split}
\sum_{k=1}^\infty a_{2k} &= a\ \sum_{k=1}^\infty (q^2)^k \\
&= a\ \left( \sum_{k=0}^\infty (q^2)^k -1\right) \\
&= a\ \left( \frac{1}{1-q^2} -1\right) \\
&= \frac{a\ q^2}{1-q^2}
\end{split}
\]
da cui si ricava il sistema di due equazioni in due incognite:
\[
\begin{cases}
\frac{a\ q}{1-q^2} = 16 \\
\frac{a\ q^2}{1-q^2} = 4
\end{cases}
\]
che si risolve con un po' d'algebra.