Programmazione lineare o Geometria?

[stormy1]

si può ricondurre ad un problema di minimo per una funzione di una variabile
mettiti nel riferimento cartesiano in cui $F(0,0);C(x,0);B(l,-d)$
il tuo obiettivo è trovare la $x$ che minimizza la funzione costo

[gugo82]

Fatto un disegno di massima (in cui la costa coincide con l'asse delle \(x\) di un sistema di riferimento cartesiano, con l'asse \(y\) orientato verso il largo e passante per il punto \(A\)), si vede che la situazione è la seguente:
[asvg]xmin=-1;xmax=5; ymin=-1; ymax=5;
axes();
strokewidth=3; stroke="brown"; line([-2,0],[6,0]);
text([0,0],"A",below); text([2,-1],"SPIAGGIA"); text([2,4],"MARE");
strokewidth=1; stroke="blue"; line([0,4],[2,0]); text([1,2],"cavo sommerso", right);
stroke="red"; line([2,0],[5,0]); text([3.5,0],"cavo interrato",above);
stroke="black";
dot([0,4]); text([0,4],"F",above);
dot([2,0]); text([2,0],"C",below);
dot([5,0]); text([5,0],"B",below);[/asvg]
Chiaramente il costo totale dell'opera dipende sia dalla lunghezza del tratto di cavo sommerso (segmento blu), sia dalla lunghezza del tratto di cavo interrato (segmento rosso). Dato che i punti \(A\), \(F\) e \(B\) sono fissi, ed hanno coordinate:
\[
A=(0,0),\quad F=(0,d),\quad B=(l,0)
\]
(con \(d,l>0\)), le lunghezze dei tratti di cavo dipendono unicamente da dove si sceglie di collocare il punto \(C\); dato che il punto \(C\) è da scegliersi sulla linea di costa tra \(A\) e \(B\), nel sistema di riferimento fissato all'inizio tale punto avrà coordinate del tipo:
\[
C=(x,0)\qquad \text{, con } 0\leq x\leq l\; .
\]
Chiaramente, il parametro \(x\), che descrive la posizione del punto \(C\), è l'unica variabile che rimane da determinare per considerare terminato il progetto (in gergo ingegneristico, si potrebbe chiamare la \(x\) variabile di progetto); pertanto essa va determinata ed è individuabile secondo le specifiche del problema/progetto.
Il problema/progetto chiede di determinare la posizione di \(C\), i.e. la variabile \(x\), in modo che risulti minimo il costo totale dell'opera, sapendo che poggiare un chilometro di cavo sul fondo costa \(a>0\) euro e che interrare un chilometro di cavo sulla costa richiede \(b>0\) euro.
Detti \(\ell_s(x)\) ed \(\ell_i(x)\), rispettivamente, le lunghezze dei tratti di cavo sommerso ed interrato (che sono calcolabili in maniera immediata, usando la figura ed i dati), il costo totale del progetto è dato da:
\[
f(x):=a\ \ell_s(x) + b\ \ell_i(x)\qquad \text{, con } 0\leq x\leq l\; ;
\]
pertanto, le posizioni di \(C\) che soddisfano la richiesta del problema/progetto coincidono con quei valori \(x^\star\) della variabile \(x\) appartenenti all'intervallo chiuso \([0,l]\) e tali che:
\[
f(x^\star) = \min_{x\in [0,l]} f(x)\, ,
\]
cioé coincidono con le ascisse degli eventuali punti di minimo assoluto della funzione costo \(f\) appartenenti all'intervallo \([0,l]\).

Riassumendo: il problema/proggetto ti chiede di individuare le ascisse degli eventuali punti di minimo assoluto di una funzione \(f\) in un intervallo \([0,l]\).

Più Analisi I di così, si muore...

[gugo82]

Adesso, però, sono curioso di conoscere la soluzione... Che viene fuori?

Inoltre, potrebbe essere interessante capire il ruolo giocato dai parametri \(a\), \(b\), \(d\) ed \(l\); insomma, provando a tenere in gioco i quattro parametri \(a,b,d,l\) senza sostituire il loro valore lì dove l'hai sostituito, si riescono a determinare i valori che risolvono il problema come funzioni dei parametri, cioé a scrivere \(x^\star = x^\star (a,b,d,l)\)?
E che conseguenze si possono trarre, ingegneristicamente parlando, dalla relazione \(x^\star =x^\star (a,b,d,l)\)?

[axpgn]

@DrewEugene17

Sei per caso compagno di classe di questo?
viewtopic.php?f=36&t=134981&p=860853#p860853

Certo che sei fortunato , hai avuto quattro risposte ...

Cordialmente, Alex