Programma per risolvere equazioni
Salve a tutti. Oggi mi sono imbattuto in un semplice problema di matematica finanziaria in cui si chiede di trovare il tasso di una rendita, noti il montante e la rata costante. Sono un po' arruginito, ma mi sembra che per risolvere il calcolo ci sia bisogno di ricorrere all'analisi numerica.
Non riesco a trovare calcolatrici online per risolvere questo specifico problema (e mi sembra un po' strano), c'è qualche software di calcolo che mi può aiutare? Ho scaricato Freemat, sto vedendo anche Octave ma non ci capisco nulla, e il mio problema è banale.
Ovviamente cerco una soluzione elettronica, non voglio procedere con penna e calcolatrice.
Anche chi non avesse familiarità con la materia (e se non ho dimenticato tutto!) si tratta di risolvere questa equazione
E x, essendo un tasso, sarà verosimilmente compreso tra 0 e 0.1
Non riesco a trovare calcolatrici online per risolvere questo specifico problema (e mi sembra un po' strano), c'è qualche software di calcolo che mi può aiutare? Ho scaricato Freemat, sto vedendo anche Octave ma non ci capisco nulla, e il mio problema è banale.
Ovviamente cerco una soluzione elettronica, non voglio procedere con penna e calcolatrice.
Anche chi non avesse familiarità con la materia (e se non ho dimenticato tutto!) si tratta di risolvere questa equazione
29.0322 x = (1 + x)^20 - 1
E x, essendo un tasso, sarà verosimilmente compreso tra 0 e 0.1
Risposte
Una soluzione è certamente [tex]$x=0$[/tex], ma tale soluzione e non è l'unica.
Infatti, scritta l'equazione come [tex]$y^{20}-29.0322 y +28.0322 =0$[/tex], con [tex]$y=1+x$[/tex], la derivata prima del primo membro è [tex]$20y^{19}-29.0322$[/tex] ed essa è maggiore di zero per [tex]$y>\sqrt[19]{\tfrac{29.0322}{20}} \approx 1.01981=:y_0$[/tex]; ne viene che [tex]$y^{20}-29.0322 y +28.0322$[/tex] è strettamente crescente per [tex]$y\geq y_0$[/tex] e strettamente decrescente per [tex]$y\leq y_0$[/tex].
A questo punto si vede che:
[tex]$y^{20}-29.0322 y +28.0322 \Big|_{y=y_0} \approx -0.0947066 <0$[/tex]
e, dato che [tex]$\lim_{y\to \pm \infty} y^{20}-29.0322 y +28.0322 =+\infty$[/tex], esistono sicuramente un [tex]$y_1
Con un buon programma numerico si trova [tex]$y_2\approx 1.03755$[/tex], dunque [tex]$x_2=y_2-1=0.3755$[/tex].
Infatti, scritta l'equazione come [tex]$y^{20}-29.0322 y +28.0322 =0$[/tex], con [tex]$y=1+x$[/tex], la derivata prima del primo membro è [tex]$20y^{19}-29.0322$[/tex] ed essa è maggiore di zero per [tex]$y>\sqrt[19]{\tfrac{29.0322}{20}} \approx 1.01981=:y_0$[/tex]; ne viene che [tex]$y^{20}-29.0322 y +28.0322$[/tex] è strettamente crescente per [tex]$y\geq y_0$[/tex] e strettamente decrescente per [tex]$y\leq y_0$[/tex].
A questo punto si vede che:
[tex]$y^{20}-29.0322 y +28.0322 \Big|_{y=y_0} \approx -0.0947066 <0$[/tex]
e, dato che [tex]$\lim_{y\to \pm \infty} y^{20}-29.0322 y +28.0322 =+\infty$[/tex], esistono sicuramente un [tex]$y_1
Con un buon programma numerico si trova [tex]$y_2\approx 1.03755$[/tex], dunque [tex]$x_2=y_2-1=0.3755$[/tex].
Accidenti che velocità! Ti ringrazio molto, e apprezzo il tempo che ci hai messo per scrivere tutta quella roba!!! 
Diciamo che però tutto il ragionamento si può considerare "dato", nel senso che si tratta di un problema di matematica applicata in cui bisogna trovare un tasso, per cui si assume che la soluzione 0 (zero) non è accettabile e che l'altra soluzione, in quanto tasso "legale", cioè valido nel mondo reale, deve essere per forza un numero piccolo (io avevo scritto compreso tra 0 e 0.1 perchè non sono comuni tassi superiori al 10%). Quindi qui in pratica, più che risolvermi il problema, io chiedevo quale programma numerico si potesse usare e soprattutto come, ma solo per una questione di mia personale curiosità, visto che non esistono calcolatrici online e che all'università questo genere di problemi si risolvono con la calcolatrice e/o con le tavole (per la cronaca, la soluzione io l'avevo trovata "per tentativi" con un foglio excel)
Grazie comunque, e visto che ti trovi mi puoi dire il software che hai usato per la computazione finale e il "comando"?
Diciamo che però tutto il ragionamento si può considerare "dato", nel senso che si tratta di un problema di matematica applicata in cui bisogna trovare un tasso, per cui si assume che la soluzione 0 (zero) non è accettabile e che l'altra soluzione, in quanto tasso "legale", cioè valido nel mondo reale, deve essere per forza un numero piccolo (io avevo scritto compreso tra 0 e 0.1 perchè non sono comuni tassi superiori al 10%). Quindi qui in pratica, più che risolvermi il problema, io chiedevo quale programma numerico si potesse usare e soprattutto come, ma solo per una questione di mia personale curiosità, visto che non esistono calcolatrici online e che all'università questo genere di problemi si risolvono con la calcolatrice e/o con le tavole (per la cronaca, la soluzione io l'avevo trovata "per tentativi" con un foglio excel)
Grazie comunque, e visto che ti trovi mi puoi dire il software che hai usato per la computazione finale e il "comando"?
Ce ne sono tanti; i migliori probabilmente sono MatLab e Mathematica.
In Mathematica basta usare:
per determinare numericamente tutte le venti radici del polinomio.
In Mathematica basta usare:
NSolve[y^20-29.0322 y +28.0322 ==0, y]
per determinare numericamente tutte le venti radici del polinomio.
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