Produttoria e sommatoria
Qualcuno potrebbe spiegarmi perchè questa sommatoria può essere scritta in questo modo?
$\sum_{n=1}^∞ \prod_{j=1}^(n-1)μ_j = \sum_{n=1}^(s-1) \prod_{j=1}^(n)μ_j + \sum_{n=s}^∞ \prod_{j=1}^(n)μ_j$
$\sum_{n=1}^∞ \prod_{j=1}^(n-1)μ_j = \sum_{n=1}^(s-1) \prod_{j=1}^(n)μ_j + \sum_{n=s}^∞ \prod_{j=1}^(n)μ_j$
Risposte
Se voglio sommare da 1 a N posso sommare da 1 a m-1 e poi da m a N
$1+...+1000=(1+...99)+(100+...+1000) $
$1+...+1000=(1+...99)+(100+...+1000) $
"kobeilprofeta":
Se voglio sommare da 1 a N posso sommare da 1 a m-1 e poi da m a N
Giusto però non capisco poi quest'altro passaggio, $\sum_{n=1}^(s-1) \prod_{j=1}^(n)μ_j = \sum_{n=1}^(s-1) n!μ^n$
Ma non lo vedo quel passaggio
"kobeilprofeta":
Ma non lo vedo quel passaggio
Intendo perchè$\sum_{n=1}^(s-1) \prod_{j=1}^(n)μ_j$ può essere riscritto come $\sum_{n=1}^(s-1) n!μ^n$
Dipende da cos'è \( \mu_{j} \).
"G.D.":
Dipende da cos'è \( \mu_{j} \).
$\mu$ è la velocità di servizio
Perdona la mia ignoranza ma l'argomento qual è? Da dove saltano fuori queste sommatorie e queste produttorie?
"G.D.":
Perdona la mia ignoranza ma l'argomento qual è? Da dove saltano fuori queste sommatorie e queste produttorie?
Analisi di sistemi ad eventi, scusami forse dovevo precisare meglio l'argomento in questione
E com'è definita questa velocità di servizio?
allora, non so di che argomnto stai parlando, peró
se $\prod_1^n a_k=n!*a^n$, allora $a_k=k*a$
se $\prod_1^n a_k=n!*a^n$, allora $a_k=k*a$
"G.D.":
E com'è definita questa velocità di servizio?
Semplicemente come $\mu$
che ne dici di quello che ho scritto io?
"kobeilprofeta":
che ne dici di quello che ho scritto io?
Non capisco che procedimento hai seguito, la produttoria svolta non dovrebbe essere così ? $\prod_{j=1}^(n)μ_j=μ^n$
Per poter giustificare l'uguaglianza
\[
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{s-1} \prod_{j=1}^{n} \mu_{j} = \sum_{n=1}^{s-1} n! \cdot \mu^{n}
\end{equation}
\]
occorre giustificare l'uguaglianza
\[
\begin{equation}
\prod_{j=1}^{n} \mu_{j} = n! \cdot \mu^{n}
\end{equation}
\]
e per poter giustificare quest'ultima uguaglianza occorre sapere in che modo sono definiti i vari \( \mu_{j} \), che rappresentano, in base a quanto hai scritto nei tuoi precedenti interventi, la velocità di servizio. Quando io ti ho chiesto come fosse definita questa velocità di servizio, tu hai risposto
Ma questa non è la definizione della velocità di servizio, questo è il modo in cui la velocità di servizio è indicata nelle formule in cui essa compare. Chiedere com'è definita la velocità di servizio significa chiedere cosa indica la velocità di servizio, quali lo sono le altre grandezze in funzione delle quali essa è definita e com'è calcolata in base a queste. Per esempio in meccanica si definisce la velocità media come il rapporto tra lo spazio percorso e l'intervallo di tempo impiegato per percorrere detto spazio, le grandezze in funzione delle quali la velocità media è definita sono lo spazio ed il tempo, la velocità media rappresenta dunque la rapidità di variazione delle posizione nel tempo, si indica con \( v_{m} \) e si calcola come spazio diviso tempo.
Non avendo tu fornito una definizione per i vari \( \mu_{j} \), kobeilprofeta è andato al contrario: assunta come buona la (2), ha cercato di dedurre da questa quale fosse la definizione dei vari \( \mu_{j} \), concludendo che la \( k \)-esima velocità di servizio \( \mu_{k} \) vale \( \mu_{k} = k \cdot a \). Indi per cui la domanda di kobeilprofeta: ti risulta dalle fonti in tuo possesso che la velocità di servizio si calcoli in questo modo?
\[
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{s-1} \prod_{j=1}^{n} \mu_{j} = \sum_{n=1}^{s-1} n! \cdot \mu^{n}
\end{equation}
\]
occorre giustificare l'uguaglianza
\[
\begin{equation}
\prod_{j=1}^{n} \mu_{j} = n! \cdot \mu^{n}
\end{equation}
\]
e per poter giustificare quest'ultima uguaglianza occorre sapere in che modo sono definiti i vari \( \mu_{j} \), che rappresentano, in base a quanto hai scritto nei tuoi precedenti interventi, la velocità di servizio. Quando io ti ho chiesto come fosse definita questa velocità di servizio, tu hai risposto
"Fab996":
Semplicemente come \( \mu \).
Ma questa non è la definizione della velocità di servizio, questo è il modo in cui la velocità di servizio è indicata nelle formule in cui essa compare. Chiedere com'è definita la velocità di servizio significa chiedere cosa indica la velocità di servizio, quali lo sono le altre grandezze in funzione delle quali essa è definita e com'è calcolata in base a queste. Per esempio in meccanica si definisce la velocità media come il rapporto tra lo spazio percorso e l'intervallo di tempo impiegato per percorrere detto spazio, le grandezze in funzione delle quali la velocità media è definita sono lo spazio ed il tempo, la velocità media rappresenta dunque la rapidità di variazione delle posizione nel tempo, si indica con \( v_{m} \) e si calcola come spazio diviso tempo.
Non avendo tu fornito una definizione per i vari \( \mu_{j} \), kobeilprofeta è andato al contrario: assunta come buona la (2), ha cercato di dedurre da questa quale fosse la definizione dei vari \( \mu_{j} \), concludendo che la \( k \)-esima velocità di servizio \( \mu_{k} \) vale \( \mu_{k} = k \cdot a \). Indi per cui la domanda di kobeilprofeta: ti risulta dalle fonti in tuo possesso che la velocità di servizio si calcoli in questo modo?
"G.D.":
Per poter giustificare l'uguaglianza
\[
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{s-1} \prod_{j=1}^{n} \mu_{j} = \sum_{n=1}^{s-1} n! \cdot \mu^{n}
\end{equation}
\]
occorre giustificare l'uguaglianza
\[
\begin{equation}
\prod_{j=1}^{n} \mu_{j} = n! \cdot \mu^{n}
\end{equation}
\]
e per poter giustificare quest'ultima uguaglianza occorre sapere in che modo sono definiti i vari \( \mu_{j} \), che rappresentano, in base a quanto hai scritto nei tuoi precedenti interventi, la velocità di servizio. Quando io ti ho chiesto come fosse definita questa velocità di servizio, tu hai risposto
[quote="Fab996"]
Semplicemente come \( \mu \).
Ma questa non è la definizione della velocità di servizio, questo è il modo in cui la velocità di servizio è indicata nelle formule in cui essa compare. Chiedere com'è definita la velocità di servizio significa chiedere cosa indica la velocità di servizio, quali lo sono le altre grandezze in funzione delle quali essa è definita e com'è calcolata in base a queste. Per esempio in meccanica si definisce la velocità media come il rapporto tra lo spazio percorso e l'intervallo di tempo impiegato per percorrere detto spazio, le grandezze in funzione delle quali la velocità media è definita sono lo spazio ed il tempo, la velocità media rappresenta dunque la rapidità di variazione delle posizione nel tempo, si indica con \( v_{m} \) e si calcola come spazio diviso tempo.
Non avendo tu fornito una definizione per i vari \( \mu_{j} \), kobeilprofeta è andato al contrario: assunta come buona la (2), ha cercato di dedurre da questa quale fosse la definizione dei vari \( \mu_{j} \), concludendo che la \( k \)-esima velocità di servizio \( \mu_{k} \) vale \( \mu_{k} = k \cdot a \). Indi per cui la domanda di kobeilprofeta: ti risulta dalle fonti in tuo possesso che la velocità di servizio si calcoli in questo modo?[/quote]
Esattamente $\mu_n={n\mu $per $n<=s$; $s\mu $per $n>=s}$
Benissimo: dunque kobeilprofeta ci aveva visto giusto.
La produttoria è all'interno della sommatoria. Quindi dove arriva \( n \) ce lo dice la sommatoria. La sommatoria ci dice che \( n \) parte da \( 1 \) ed arriva a \( s - 1 \), quindi \( n \) è sempre minore di \( s \); ogni volta che \( n \) assume un valore compreso tra \( 1 \) e \( s - 1 \) nella sommatoria, nella produttoria \( j \) assume i valori da \( 1 \) a \( n \), che saranno anch'essi minori di \( s \), quindi per ogni valore di \( j \) il valore corrispondente di \( \mu_{j} \) è \( j \cdot \mu \); i valori di \( j \) sono progressivi da \( 1 \) a \( n \), sicché riordinando i fattori si ottiene il fattoriale di \( n \) moltiplicato per \( n \) volte per \( \mu \), i.e. per \( \mu^{n} \):
\[
\prod_{j=1}^{n} \mu_{j} = \mu_{1} \cdot \mu_{2} \cdot \mu_{3} \cdots \mu_{n} = ( 1 \cdot \mu ) \cdot ( 2 \cdot \mu ) \cdot ( 3 \cdot \mu ) \cdots ( n \cdot \mu ) = ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n ) \cdot ( \underbrace{\mu \cdot \mu \cdot \mu \cdots \mu}_{n \text{ volte }} ) = n! \cdot \mu^{n}
\]
La produttoria è all'interno della sommatoria. Quindi dove arriva \( n \) ce lo dice la sommatoria. La sommatoria ci dice che \( n \) parte da \( 1 \) ed arriva a \( s - 1 \), quindi \( n \) è sempre minore di \( s \); ogni volta che \( n \) assume un valore compreso tra \( 1 \) e \( s - 1 \) nella sommatoria, nella produttoria \( j \) assume i valori da \( 1 \) a \( n \), che saranno anch'essi minori di \( s \), quindi per ogni valore di \( j \) il valore corrispondente di \( \mu_{j} \) è \( j \cdot \mu \); i valori di \( j \) sono progressivi da \( 1 \) a \( n \), sicché riordinando i fattori si ottiene il fattoriale di \( n \) moltiplicato per \( n \) volte per \( \mu \), i.e. per \( \mu^{n} \):
\[
\prod_{j=1}^{n} \mu_{j} = \mu_{1} \cdot \mu_{2} \cdot \mu_{3} \cdots \mu_{n} = ( 1 \cdot \mu ) \cdot ( 2 \cdot \mu ) \cdot ( 3 \cdot \mu ) \cdots ( n \cdot \mu ) = ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n ) \cdot ( \underbrace{\mu \cdot \mu \cdot \mu \cdots \mu}_{n \text{ volte }} ) = n! \cdot \mu^{n}
\]
Grazie ad entrambi 
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