Prodotto tra tre termini uguali

[donald_zeka]

Si sa che date tre variabili x,y,z tali che la loro somma sia costante, allora il loro prodotto è massimo quando x=y=z
Se x+y+z=pi
Perchè il prodotto cosx*cosy*cosz è massimo quando x=y=z?
cioè logicamente x*y*z è massima per x=y=z=pi/3, ma non capisco perchà valga anche per il loro coseno

[vict85]

La risposta a questo tipo di domande non è generalmente risposto in algebra, ma usando metodi analitici come i moltiplicatori di Lagrange.

[xdom="vict85"]Sposto in analisi.[/xdom]

[gugo82]

Beh, è un classico problema di Analisi II: infatti, si tratta di risolvere il problema di estremo vincolato:
\[
\begin{cases} \max &\cos x\ \cos y\ \cos z\\
\text{s. v.} &x+y+z=\pi\; .
\end{cases}
\]
Questo si può fare coi moltiplicatori di Lagrange, oppure trasformando il problema vincolato in tre variabili in un problema di estremo libero in due variabili.
Quest'ultima cosa si può fare usando direttamente l'equazione del vincolo, i.e. \(x+y+z=\pi\), esplicitandola rispetto a \(z\) (ad esempio) e sostituendo il valore trovato nella funzione obiettivo, i.e. \(f(x,y,z)=\cos x\cos y\cos z\). Facendo ciò e tenendo presente che \(\cos (\pi-x-y)=-\cos (x+y)\), si vede che il tuo problema è equivalente al problema di estremo libero:
\[
\max_{(x,y)\in\mathbb{R}^2} \big(- \cos x\ \cos y\ \cos (x+y)\big)
\]
che si risolve con le usuali tecniche di Calcolo Differenziale.