Prodotto tra operatori
Ciao ragazzi !! sto svolgendo questo esercizio di analisi complessa, e mi chiede di determinare autovalori e autovettori degli operatori \( B= A^\dagger A \) e \( C= AA^\dagger \) .
Con \( A^\dagger : (b_0,b_1,b_2...)\mapsto (0,b_0,\sqrt{2} b_2,...) \)
e \( A:(c_0,c_1,c_2...)\mapsto (c_1, \sqrt{2} c_2, \sqrt{3}c_3...) \)
Prima di arrivare agli autovettori e agli autovalori, non ho capito perchè il libro mette queste soluzioni:
\( B:(c_0,c_1,c_2...)\mapsto (0,c_1, 2c_2...) \)
\( C:(c_0,c_1,c_2...)\mapsto (c_0, 2c_1, 3c_2...) \)
Perchè mette questa soluzione qui? come ha fatto ha fare la moltiplicazione?
Grazie della risposta !
Con \( A^\dagger : (b_0,b_1,b_2...)\mapsto (0,b_0,\sqrt{2} b_2,...) \)
e \( A:(c_0,c_1,c_2...)\mapsto (c_1, \sqrt{2} c_2, \sqrt{3}c_3...) \)
Prima di arrivare agli autovettori e agli autovalori, non ho capito perchè il libro mette queste soluzioni:
\( B:(c_0,c_1,c_2...)\mapsto (0,c_1, 2c_2...) \)
\( C:(c_0,c_1,c_2...)\mapsto (c_0, 2c_1, 3c_2...) \)
Perchè mette questa soluzione qui? come ha fatto ha fare la moltiplicazione?
Grazie della risposta !
Risposte
Quelle vanno intese come composizioni di funzioni. Penso però che le funzioni sia sbagliate. Dovrebbero essere così:
Suppongo gli operatori siano definiti come:
\[A\colon \{ a_n \} \mapsto \{ c_n \} \text{ dove } c_n = \sqrt{n+1} a_{n+1} \]
\[A^{\dagger} \colon \{ c_n \} \mapsto \{ b_n \} \text{ dove } b_0 = 0 \text{ e } b_n = \sqrt{n} c_{n-1} \]
Componendo si ha che \(\displaystyle B\colon \{ a_n \} \to \{ b_n \} \) con \(\displaystyle b_0 = 0 \) e \(\displaystyle b_n = \sqrt{n} c_{n-1} = \sqrt{n}\sqrt{n} a_{n} = n a_{n} \).
Componendo si ha che \(\displaystyle C\colon \{ b_n \} \to \{ c_n \} \) con \(\displaystyle c_n = \sqrt{n+1} a_{n+1} = \sqrt{n+1}\sqrt{n+1} b_{n} = (n+1) b_{n} \).
Suppongo gli operatori siano definiti come:
\[A\colon \{ a_n \} \mapsto \{ c_n \} \text{ dove } c_n = \sqrt{n+1} a_{n+1} \]
\[A^{\dagger} \colon \{ c_n \} \mapsto \{ b_n \} \text{ dove } b_0 = 0 \text{ e } b_n = \sqrt{n} c_{n-1} \]
Componendo si ha che \(\displaystyle B\colon \{ a_n \} \to \{ b_n \} \) con \(\displaystyle b_0 = 0 \) e \(\displaystyle b_n = \sqrt{n} c_{n-1} = \sqrt{n}\sqrt{n} a_{n} = n a_{n} \).
Componendo si ha che \(\displaystyle C\colon \{ b_n \} \to \{ c_n \} \) con \(\displaystyle c_n = \sqrt{n+1} a_{n+1} = \sqrt{n+1}\sqrt{n+1} b_{n} = (n+1) b_{n} \).
Ho ricontrollato, mancava solo una cosina.
ma dici che nel primo opeatore ci vanno delle $ c $ al posto delle $ b$ ?
ma dici che nel primo opeatore ci vanno delle $ c $ al posto delle $ b$ ?
Ho ampliato sopra la mia risposta.
Nello spazio di Hilbert:
$ l^2={ c= (c_0,c_1,c_2...) : sum_(j=0)^oo |c_j|^2
si consideri l'operatore
$ A: (c_0,c_1,c_2...) |-> (c_1,sqrt2c_2,sqrt3c_3...) $
a) si determini il dominio D di A.
b)si determini l'operatore aggiunto di A .
c)Si determinino autovalori e autovettori degli operatori \( B=A^\dagger A \) e \( C=AA^\dagger \)
Questa è la soluzione completa, per quanto riguarda le parti A e B credo di averle capite... è la parte C (che infatti cercavo di chiedere) che non capisco... E' come dici te? oppure è una cosa totalmente diversa?
$ l^2={ c= (c_0,c_1,c_2...) : sum_(j=0)^oo |c_j|^2
si consideri l'operatore
$ A: (c_0,c_1,c_2...) |-> (c_1,sqrt2c_2,sqrt3c_3...) $
a) si determini il dominio D di A.
b)si determini l'operatore aggiunto di A .
c)Si determinino autovalori e autovettori degli operatori \( B=A^\dagger A \) e \( C=AA^\dagger \)
Questa è la soluzione completa, per quanto riguarda le parti A e B credo di averle capite... è la parte C (che infatti cercavo di chiedere) che non capisco... E' come dici te? oppure è una cosa totalmente diversa?
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