Prodotto tra funzioni a quadrato integrabile.
Come si dimostra che il prodotto (prodotto puntuale) di due funzioni a quadrato integrabile è una funzione a a quadrato integrabile?
Volevo arrivarci con qualche mezzo tipo la disuguaglianza di Schwarz... Ma mi areno.
O meglio, avrei trovato un modo, ovvero sfruttando il fatto che il prodotto di convoluzione tra due funzioni di L^2 (R) sta in L^2(R)... Ma vorrei trovare qualcos'altro.
Any help?
Grazie grazie!
Volevo arrivarci con qualche mezzo tipo la disuguaglianza di Schwarz... Ma mi areno.
O meglio, avrei trovato un modo, ovvero sfruttando il fatto che il prodotto di convoluzione tra due funzioni di L^2 (R) sta in L^2(R)... Ma vorrei trovare qualcos'altro.
Any help?
Grazie grazie!
Risposte
"metafix":
Come si dimostra che il prodotto (prodotto puntuale) di due funzioni a quadrato integrabile è una funzione a a quadrato integrabile?
Non è così: il prodotto a tali ipotesi è integrabile e non a quadrato integrabile...
La disuguaglianza di Holder ( generalizzazione di quella di Schwarz ) dice che :
se $ f(x) in L^p $ ; $ g(x) in L^q $ con $ q > 1 $ definito dall'equazione $1/p+1/q = 1 $ $
allora :
$ ||f(x)g(x) ||_(1) <= ||f(x) ||_(p)*||g(x)||_(q) $.
Nel caso $ p=2 $ [f(x) a quadrato sommabile ] risulta $ q=2 $[g(x) a quadrato sommabile] e $f(x)g(x) in L^1 $
e quindi $ f(x) $ " solo " sommabile, essendo naturalmente :
$ ||f(x)g(x)||_(1) = int_a^b |f(x)g(x)|*dx $
$||f(x)||_(p) = [int_a^b |f(x)|^p*dx]^(1/p) $
$|| g(x)||_(q) = [int _a^b |g(x)|^q*dx]^(1/q) $
se $ f(x) in L^p $ ; $ g(x) in L^q $ con $ q > 1 $ definito dall'equazione $1/p+1/q = 1 $ $
allora :
$ ||f(x)g(x) ||_(1) <= ||f(x) ||_(p)*||g(x)||_(q) $.
Nel caso $ p=2 $ [f(x) a quadrato sommabile ] risulta $ q=2 $[g(x) a quadrato sommabile] e $f(x)g(x) in L^1 $
e quindi $ f(x) $ " solo " sommabile, essendo naturalmente :
$ ||f(x)g(x)||_(1) = int_a^b |f(x)g(x)|*dx $
$||f(x)||_(p) = [int_a^b |f(x)|^p*dx]^(1/p) $
$|| g(x)||_(q) = [int _a^b |g(x)|^q*dx]^(1/q) $
"metafix":
Come si dimostra che il prodotto (prodotto puntuale) di due funzioni a quadrato integrabile è una funzione a a quadrato integrabile?
Come ti è stato già detto, quest'implicazione è falsa. Tuttavia, non ti è stato dimostrato. Considera allora la funzione $f: RR \to RR$ definita ponendo $f(x) = x^{-1/4}$, se $0 < x \le 1$, ed $f(x) = 0$ altrove. Banalmente, $f$ è di classe $L^2(RR)$, e tuttavia $g = f \cdot f$ non è tale, visto che $g^2(x) = f^4(x) = 1/x$, per $x \in (0,1]$.
"DavidHilbert":
[quote="metafix"]Come si dimostra che il prodotto (prodotto puntuale) di due funzioni a quadrato integrabile è una funzione a a quadrato integrabile?
Come ti è stato già detto, quest'implicazione è falsa. Tuttavia, non ti è stato dimostrato. [/quote]
Come no ? Tramite la diseguaglianza di Holder .
La disuguaglianza di Holder prova che il prodotto di funzioni L^2 è certamente una funzione L^1, ma non c'è modo di escludere per questa via che lo stesso prodotto non sia pure una funzione L^2.
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