Prodotto scalare
Su alcuni testi ho trovato che il prodotto scalare tra $v=$ e $w=$ è $|v|*|w|*cos(theta)$ dove $theta$ è l'angolo formato dai due vettori.
Su altri invece trovo scritto che è $v1*w1+v2*w2+...+vn*wn$.
Eppure sono due cose diverse, no?
Su altri invece trovo scritto che è $v1*w1+v2*w2+...+vn*wn$.
Eppure sono due cose diverse, no?
Risposte
Assolutamente no, i risultati sono equivalenti. Prova a rappresentare due vettori nel piano cartesiano e te ne accorgi.
forse il punto è che cosa è un angolo in $RR^n$
Immagino si debba considerare il piano su cui giacciono entrambi i vettori e trovare l'angolo compreso tra loro. Piuttosto complicato magari in spazi a varie dimensioni, ma non impossibile.
No, quello che immagino voglia dire rubik è un'altra cosa (tipica fissazione da matematico, aggiungo 
): come è possibile definire un angolo in $RR^n$ se non mediante il prodotto scalare?
Infatti, se diciamo che il prodotto scalare di due vettori "geometrici" (segmenti orientati del piano Euclideo) è
$vec(v)*vec(w)=|v||w|costheta_{v, w}$
abbiamo definito in precedenza l'angolo $theta$ mediante considerazioni di geometria piana (l'angolo formato da due semirette è la porzione di piano eccetera eccetera). Tuttalpiù la possiamo estendere allo spazio Euclideo tridimensionale ma certamente non a $RR^n$ che con questi due oggetti non c'entra nulla.
Quindi dobbiamo rigirare la frittata: definiamo il prodotto scalare in $RR^n$ come somma dei prodotti delle componenti dei due fattori e poi l'angolo tra due vettori di $RR^n$ come:
$costheta_{v, w}={vec(v)*vec(w)}/{|v||w|}$.
Comunque ne parlammo tempo fa qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 38807.html?
): come è possibile definire un angolo in $RR^n$ se non mediante il prodotto scalare? Infatti, se diciamo che il prodotto scalare di due vettori "geometrici" (segmenti orientati del piano Euclideo) è
$vec(v)*vec(w)=|v||w|costheta_{v, w}$
abbiamo definito in precedenza l'angolo $theta$ mediante considerazioni di geometria piana (l'angolo formato da due semirette è la porzione di piano eccetera eccetera). Tuttalpiù la possiamo estendere allo spazio Euclideo tridimensionale ma certamente non a $RR^n$ che con questi due oggetti non c'entra nulla.
Quindi dobbiamo rigirare la frittata: definiamo il prodotto scalare in $RR^n$ come somma dei prodotti delle componenti dei due fattori e poi l'angolo tra due vettori di $RR^n$ come:
$costheta_{v, w}={vec(v)*vec(w)}/{|v||w|}$.
Comunque ne parlammo tempo fa qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 38807.html?
Passando invece al prodotto vettoriale in $RR^3$...non mi è chiaro come calcolarlo con la notazione matriciale, ovvero come determinante della matrice $[[e_1,e_2,e_3],[a_1,a_2,a_3],[b_1,b_2,b_3]]$ e in particolare non mi è chiaro come inserisco in questa matrice $e_1,e_2,e_3$ visto che essendo i versori di base dovrebbero essere dei vettori.
$bar e_1,bar e_2,bar e_3 $ sono dei vettori così come il prodotto vettoriale tra due vettori $ bar a=(a_1,a_2,a_3) ; bar b=(b_1,b_2,b_3) $ lo è.
Calcolando il determinante "in modo formale" ottieni il vettore $((a_2b_3-a_3b_2)bar e_1 +(a_3b_1-b_3a_1)bar e_2 +(a_1b_2-a_2b_1)bar e_3) $ che è il vettore $ a^^b $.
Calcolando il determinante "in modo formale" ottieni il vettore $((a_2b_3-a_3b_2)bar e_1 +(a_3b_1-b_3a_1)bar e_2 +(a_1b_2-a_2b_1)bar e_3) $ che è il vettore $ a^^b $.
Che quindi sarebbe il vettore $[(a_2b_3-a_3b_2),(a_3b_1-b_3a_1),(a_1b_2-a_2b_1)]$?
Penso di aver capito...non avevo pensato che ogni versore corrisponde a una coordinata del vettore.
Grazie a tutti
Corretta seconda componente.
Camillo
Penso di aver capito...non avevo pensato che ogni versore corrisponde a una coordinata del vettore.
Grazie a tutti
Corretta seconda componente.
Camillo
"dissonance":
Quindi dobbiamo rigirare la frittata: definiamo il prodotto scalare in $RR^n$ come somma dei prodotti delle componenti dei due fattori e poi l'angolo tra due vettori di $RR^n$ come:
$costheta_{v, w}={vec(v)*vec(w)}/{|v||w|}$.
beh alla fin fine due vettori in R^n definiscono un piano a due dimensioni... Si potrebbe "vedere" l'angolo tra quei due vettori come quello formato in quel piano (come immagine più visiva magari si può portare quel piano nell'R^2 classico tramite una isometria oppure cambiar sistema di riferimento in R^n avendo i nuovi e_1 ed e_2 in quel piano)...
del resto non è molto diverso rispetto a quel che personalmente faccio in tre dimensioni in modo intuitivo (io prendo il piano tra i due vettori e là vedo l'angolo)...
"dissonance":
No, quello che immagino voglia dire rubik è un'altra cosa (tipica fissazione da matematico, aggiungo
Infatti, se diciamo che il prodotto scalare di due vettori "geometrici" (segmenti orientati del piano Euclideo) è
$vec(v)*vec(w)=|v||w|costheta_{v, w}$
abbiamo definito in precedenza l'angolo $theta$ mediante considerazioni di geometria piana (l'angolo formato da due semirette è la porzione di piano eccetera eccetera). Tuttalpiù la possiamo estendere allo spazio Euclideo tridimensionale ma certamente non a $RR^n$ che con questi due oggetti non c'entra nulla.
Quindi dobbiamo rigirare la frittata: definiamo il prodotto scalare in $RR^n$ come somma dei prodotti delle componenti dei due fattori e poi l'angolo tra due vettori di $RR^n$ come:
$costheta_{v, w}={vec(v)*vec(w)}/{|v||w|}$.
Comunque ne parlammo tempo fa qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 38807.html?
intendevo questo anche se mi sono espresso schifosamente
@Thomas: Certo, l'idea intuitiva è quella che dici tu. Però preferisco la via formale che muove dal prodotto scalare per arrivare a distanze ed angoli; io di solito non sono un patito dell'astrazione ad ogni costo, ma in questo caso trovo che sia particolarmente vantaggiosa.
In un ambito di geometria classica, per "rendere operativo" il piano o lo spazio Euclideo dobbiamo:
i) fissare un segmento $u$, che faccia da unità di misura;
ii) definire la lunghezza dei segmenti (e c'è da lavorare per poter misurare i segmenti incommensurabili con $u$);
iii) definire il concetto di angolo;
iv) definire la misura degli angoli, altro passaggio che richiede lavoro.
Sono un bel po' di operazioni, tra l'altro tutti problemi non banali per i matematici del passato. Con il concetto di "prodotto scalare" introdotto analiticamente sullo spazio $RR^n$ delle coordinate, facciamo tutte queste operazioni in un colpo solo:
-) non è necessario fissare delle unità di misura né per le lunghezze né per gli angoli, perché lo facciamo implicitamente;
-) non ci sono problemi di segmenti incommensurabili, è stato tutto risolto a monte nel costruire i numeri reali;
-) non serve definire gli angoli come figure da misurare -cosa che personalmente trovo macchinosa- sono delle grandezze scalari fin dalla nascita.
E infine tutta la costruzione è indipendente dalla dimensione e va bene -pari pari- in dimensione 2 come in dimensione 10000. Niente male questa matematica del XXI° secolo, no?
In un ambito di geometria classica, per "rendere operativo" il piano o lo spazio Euclideo dobbiamo:
i) fissare un segmento $u$, che faccia da unità di misura;
ii) definire la lunghezza dei segmenti (e c'è da lavorare per poter misurare i segmenti incommensurabili con $u$);
iii) definire il concetto di angolo;
iv) definire la misura degli angoli, altro passaggio che richiede lavoro.
Sono un bel po' di operazioni, tra l'altro tutti problemi non banali per i matematici del passato. Con il concetto di "prodotto scalare" introdotto analiticamente sullo spazio $RR^n$ delle coordinate, facciamo tutte queste operazioni in un colpo solo:
-) non è necessario fissare delle unità di misura né per le lunghezze né per gli angoli, perché lo facciamo implicitamente;
-) non ci sono problemi di segmenti incommensurabili, è stato tutto risolto a monte nel costruire i numeri reali;
-) non serve definire gli angoli come figure da misurare -cosa che personalmente trovo macchinosa- sono delle grandezze scalari fin dalla nascita.
E infine tutta la costruzione è indipendente dalla dimensione e va bene -pari pari- in dimensione 2 come in dimensione 10000. Niente male questa matematica del XXI° secolo, no?
Dal punto di vista dell'interpretazione geometrica cosa indicano prodotto scalare e vettoriale?
"dissonance":
In un ambito di geometria classica, per "rendere operativo" il piano o lo spazio Euclideo dobbiamo:
i) fissare un segmento $u$, che faccia da unità di misura;
ii) definire la lunghezza dei segmenti (e c'è da lavorare per poter misurare i segmenti incommensurabili con $u$);
iii) definire il concetto di angolo;
iv) definire la misura degli angoli, altro passaggio che richiede lavoro.
Vero. Ma è comunque indispensabile farlo, per interpretare geometricamente le formule analitiche date a priori senza riferimenti geometrici.
"dissonance":
Con il concetto di "prodotto scalare" introdotto analiticamente sullo spazio $RR^n$ delle coordinate, facciamo tutte queste operazioni in un colpo solo:
-) non è necessario fissare delle unità di misura né per le lunghezze né per gli angoli, perché lo facciamo implicitamente;
-) non ci sono problemi di segmenti incommensurabili, è stato tutto risolto a monte nel costruire i numeri reali;
-) non serve definire gli angoli come figure da misurare -cosa che personalmente trovo macchinosa- sono delle grandezze scalari fin dalla nascita.
Dissonance, non è affatto semplice dimostrare che, per esempio, $v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3$ significa $|\vec v||\vec w| cos \theta$
"thedarkhero":
Dal punto di vista dell'interpretazione geometrica cosa indicano prodotto scalare e vettoriale?
Nello spazio euclideo $E^3$:
1. $\vec u ** \vec v = u v cos\theta$ indica la proiezione ortogonale del segmento orientato $\vec u$ sulla retta contenente il segmento orientato $\vec v$ (o viceversa)
2. $\vec u ^^ \vec v=u v$ $sin\theta$ $\vec n = (u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)$ indica l'area orientata del parallelogramma individuato dai due vettori applicati $\vec u$ e $\vec v$ nell'ordine, con orientamento positivo o negativo a seconda che la terna $(\vec u,\vec v, \vec n)$ sia equiorientata o meno con i vettori base $(\vec i,\vec j, \vec k)$. Le tre componenti del prodotto vettoriale indicano le proiezioni ortogonali dell'area di questo parallelogramma sui piani generati da $(\vec j,\vec k)$, $(\vec k, \vec i)$ e $(\vec i,\vec j)$ rispettivamente.
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