Prodotto infinito che vale $\pi /2 $
Qualcuno conosce (o è in grado di produrre) una dimostrazione per questo prodotto??
$prod_{k=1}^{\infty} (4k^2)/(4k^2-1) = \pi /2 $
Wolphram Alpha suggerisce che:
$prod_(k=1)^n (4 k^2)/(4 k^2-1)=π /2 (Γ(n+1)^2)/( Γ(n+1/2) Γ(n+3/2))$
Da lì calcolando il limite per n tendente a infinito si ottiene il valore $\pi / 2$
Per k pari dovrebbe valere, con n!! che intende "semifattoriale di n"
$prod_{k=1}^{\infty} (4k^2)/(4k^2-1) = prod_{k=1}^{\infty} (2k)/(2k-1) \cdot prod_{k=1}^{\infty} (2k)/(2k+1) = lim_{k \to \infty} (k!!)/((k-1)!!) (k!!)/((k+1)!!)$
Quindi per $n= k/2 $ con n pari o dispari:
$prod_{k=1}^{\infty} (4k^2)/(4k^2-1) = lim_{n \to \infty} (2n!!)/((2n-1)!!) (2n!!)/((2n+1)!!)$
Da cui qualcosa dovrebbe essere possibile ricavare
$prod_{k=1}^{\infty} (4k^2)/(4k^2-1) = \pi /2 $
Wolphram Alpha suggerisce che:
$prod_(k=1)^n (4 k^2)/(4 k^2-1)=π /2 (Γ(n+1)^2)/( Γ(n+1/2) Γ(n+3/2))$
Da lì calcolando il limite per n tendente a infinito si ottiene il valore $\pi / 2$
Per k pari dovrebbe valere, con n!! che intende "semifattoriale di n"
$prod_{k=1}^{\infty} (4k^2)/(4k^2-1) = prod_{k=1}^{\infty} (2k)/(2k-1) \cdot prod_{k=1}^{\infty} (2k)/(2k+1) = lim_{k \to \infty} (k!!)/((k-1)!!) (k!!)/((k+1)!!)$
Quindi per $n= k/2 $ con n pari o dispari:
$prod_{k=1}^{\infty} (4k^2)/(4k^2-1) = lim_{n \to \infty} (2n!!)/((2n-1)!!) (2n!!)/((2n+1)!!)$
Da cui qualcosa dovrebbe essere possibile ricavare
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