Prodotto di una distribuzione per una funzione $C^\infty$

[umaga]

Ho un dubbio sui conti che bisogna fare per trovare il prodotto tra una distribuzione e una funzione $C^\infty$.
Mettiamo ad esempio di voler moltiplicare l'impulso $\delta$ per la funzione $x$.
Si ha $$=$<\delta,x v(x)>$. Fin qui tutto ok, si scarica la x sulla funzione test, poi però mi si dice che è ovvio che viene come risultato $0*v(0)$=$0$.
Ma per me non è affatto ovvio... Dovrebbere essere se non sbaglio $\int_RR\delta(x)*x*v(x)dx$ poi però non capisco da dove provengano i due fattori $0$ e $v(0)$ che ho scritto la riga sopra. Mi sapreste aiutare?

[Ska1]

$\psi(x) = x*v(x) \in C_c^(\infty)(R) = D(R)$, quindi hai $<\delta, \psi> = \psi(0) = (x*v(x))|_(x=0) = 0$

[Gaal Dornick]

Attenzione però!
Puoi fare il prodotto tra una funzione $C^(oo)$ e una distribuzione a supporto compatto.
O tra una distribuzione e una funzione $C_c^(oo)$.
Insomma, una delle due deve avere supporto compatto..

[umaga]

Grazie Ska per avermi riportato i passaggi, in effetti era proprio ovvio (anche se lo si dice sempre dopo...) che bisognava sfruttare la proprietà rivelatrice della delta.
Quanto alla precisazione di Gaal Dornick: quello che mi dici se ho capito bene significa quindi che ad esempio non si può moltiplicare per una funzione $C\infty$ una distribuzione temperata? (la quale essendo un funzionale lineare e continuo da $S(\RR)$ in $\CC$ non ha supporto compatto)

[Ska1]

"Gaal Dornick":Attenzione però!
Puoi fare il prodotto tra una funzione $C^(oo)$ e una distribuzione a supporto compatto.
O tra una distribuzione e una funzione $C_c^(oo)$.
Insomma, una delle due deve avere supporto compatto..

$v(x)$ ho supposto fosse una funzione test di $C_c^\infty$ quindi il prodotto di questa per una funzione $C^\infty$ è ancora una funzione di $C_c^\infty$.

Come giustamente dici tu, se lo spazio delle funzioni test usato è solo quello delle funzioni $C^\infty$ la distribuzione deve essere a supporto compatto, affinchè tutto sia coerente.

"umaga":Grazie Ska per avermi riportato i passaggi, in effetti era proprio ovvio (anche se lo si dice sempre dopo...) che bisognava sfruttare la proprietà rivelatrice della delta.
Quanto alla precisazione di Gaal Dornick: quello che mi dici se ho capito bene significa quindi che ad esempio non si può moltiplicare per una funzione $C\infty$ una distribuzione temperata? (la quale essendo un funzionale lineare e continuo da $S(\RR)$ in $\CC$ non ha supporto compatto)

In generale non puoi, è possibile se il prodotto di $h(x) \in C^\infty(\RR)$ e $v(x) \in S(\RR)$ è ancora una funzione $\psi \in S(\RR)$, quindi una funzione a decrescita rapida, tale $x^\alpha D^\beta \psi \in L^\infty(\RR)$ $\forall \alpha, \beta$. Quindi si può dire che ad esempio $h(x) = P_m(x)$ con $P_m$ polinomio di grado massimo $m$ va bene, $e^x$ invece no.

[umaga]

Ah sì, certo. La funzione deve essere a "crescita lenta".

"Ska":

$v(x)$ ho supposto fosse una funzione test di $C_c^\infty$ quindi il prodotto di questa per una funzione $C^\infty$ è ancora una funzione di $C_c^\infty$.

Come giustamente dici tu, se lo spazio delle funzioni test usato è solo quello delle funzioni $C^\infty$ la distribuzione deve essere a supporto compatto, affinchè tutto sia coerente.

In effetti anch'io davo per scontato che lo spazio delle funzioni test per le distribuzioni "normali" fosse $D(\RR)$=$C_c^\infty$ e per quelle temperate $S(\RR)$. Perfetto. Grazie mille ad entrambi per i chiarimenti.