Prodotto di successioni divergenti positivamente.
Salve a tutti; dovrei dimostrare che date due successioni divergenti positivamente allora anche la successione data dal prodotto delle due successioni diverge positivamente. Sinceramente non so come entrare nel metodo per poter fare questo genere di dimostrazioni...
Per come ci sta abituando il professore; dovrei sfruttare le due ipotesi che in questo caso sono:
$lima_n=+infty$ per cui per ogni $M'>0$ esiste un $n_M'$ tale che per ogni $n>n_M'$ si ha $a_n>M'$
$limb_n=+infty$ per cui per ogni $M''>0$ esiste un $n_M''$ tale che per ogni $n>n_M''$ si ha $b_n>M''$
La tesi:
$lima_n*b_n=+infty$.
Ho provato a dare un'occhiata alle dimostrazioni per quanto riguarda il prodotto di due successioni convergenti; ma ora che compare l'infinito mi blocco. Non so come trattarlo. Ad esempio; nel prodotto di successioni convergenti, bisognava mostrare che esisteva un $c$ fissato tale che $|a_n*b_n-ab|
Grazie a tutti.
Per come ci sta abituando il professore; dovrei sfruttare le due ipotesi che in questo caso sono:
$lima_n=+infty$ per cui per ogni $M'>0$ esiste un $n_M'$ tale che per ogni $n>n_M'$ si ha $a_n>M'$
$limb_n=+infty$ per cui per ogni $M''>0$ esiste un $n_M''$ tale che per ogni $n>n_M''$ si ha $b_n>M''$
La tesi:
$lima_n*b_n=+infty$.
Ho provato a dare un'occhiata alle dimostrazioni per quanto riguarda il prodotto di due successioni convergenti; ma ora che compare l'infinito mi blocco. Non so come trattarlo. Ad esempio; nel prodotto di successioni convergenti, bisognava mostrare che esisteva un $c$ fissato tale che $|a_n*b_n-ab|
Grazie a tutti.
Risposte
Puoi fare così: prendi un $M'$ arbitrario ed $ M'' = 1$. Allora in corrispondenza esistono $n_{M'}$ e $n_{M''}$ tali che:
per ogni $n > n_{M'}$ si ha $a_n > M'$ \( (*)\)
per ogni $n > n_{M''}$ si ha $b_n > 1$ \( (**)\)
Per $n > N = \max{ n_{M'} , n_{M''} }$ valgono entrambe \( (*) , (**) \) e quindi:
\[ a_n > M'\;\; \text{ e }\;\; b_n > 1 \;\;\;,\;\; \forall n > N \; \; \Rightarrow \;\; a_n b_n > M' \]
Riscrivendo le cose per bene, abbiamo scoperto che: $\forall M' > 0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che $\forall n > N$ si ha $c_n = a_n b_n > M'$, ovvero la tesi.
per ogni $n > n_{M'}$ si ha $a_n > M'$ \( (*)\)
per ogni $n > n_{M''}$ si ha $b_n > 1$ \( (**)\)
Per $n > N = \max{ n_{M'} , n_{M''} }$ valgono entrambe \( (*) , (**) \) e quindi:
\[ a_n > M'\;\; \text{ e }\;\; b_n > 1 \;\;\;,\;\; \forall n > N \; \; \Rightarrow \;\; a_n b_n > M' \]
Riscrivendo le cose per bene, abbiamo scoperto che: $\forall M' > 0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che $\forall n > N$ si ha $c_n = a_n b_n > M'$, ovvero la tesi.
Osserva che la dimostrazione fatta non usa esplicitamente l'ipotesi $b_n -> +oo$. Abbiamo sfruttato (prendendo $M'' = 1$) il fatto che $b_n$, divergendo a $+\infty$, si ritrova ad essere definitivamente $> 1$. Cioè abbiamo provato, se vuoi,
Prop. Prese $b_n , a_n$ successioni reali tali che $a_n -> +oo$ e $b_n > 1$ definitivamente, si ha che $a_n b_n -> +oo$.
Prop. Prese $b_n , a_n$ successioni reali tali che $a_n -> +oo$ e $b_n > 1$ definitivamente, si ha che $a_n b_n -> +oo$.
Potrei sfruttare lo stesso raggionamento per dimostrare che date due successioni divergenti rispettivamente una positivamente ed una negativamente allora il loro prodotto è una successione divergente negativamente!
Vero?
Grazie dell'aiuto!
Vero?
Grazie dell'aiuto!
Certo. Se vuoi prova a scriverlo, così lo vediamo insieme.
@Francesco.
E magari prova pure ad enunciare,ed a verificare,
l'osservazione "gemella" di quella dell'edit di Seneca alla sua prima risposta:
ti sarà utile per prender maggior confidenza con l'ottica $epsilon"-"eta$..
Saluti dal web.
E magari prova pure ad enunciare,ed a verificare,
l'osservazione "gemella" di quella dell'edit di Seneca alla sua prima risposta:
ti sarà utile per prender maggior confidenza con l'ottica $epsilon"-"eta$..
Saluti dal web.
Provo a dare la dimostrazione allora 
. Per ipotesi ho che $lim a_n=+infty$ e che $lim b_n=-infty$. Voglio di mostrare che $lima_nb_n=-infty$. Per cui per le ipotesi ho che $a_n>M'$ da un certo indice $n_M'$ in poi e che $b_n<-M''$ da un certo indice $n_M"$ in poi. Preso arbitrariamente $M''=1$; ho allora che $b_n<-1$. Quindi preso $n_M>max{n_M',n_M''}$ avrò sicuramente che $a_n*b_n<-M'$. Casomai la dimostrazione fosse giusta, ci terrei a precisare che ho proceduto in modo meccanico piuttosto che in modo logico. Ancora ho difficoltà ad esempio ad inquadrare il fatto del $n_M>max{n_M',n_M''}$; quando bisogna usarlo quando meno... Ancora le guardo frontalmente queste cose; ahimé non dall'alto.
Grazie a tutti.
. Per ipotesi ho che $lim a_n=+infty$ e che $lim b_n=-infty$. Voglio di mostrare che $lima_nb_n=-infty$. Per cui per le ipotesi ho che $a_n>M'$ da un certo indice $n_M'$ in poi e che $b_n<-M''$ da un certo indice $n_M"$ in poi. Preso arbitrariamente $M''=1$; ho allora che $b_n<-1$. Quindi preso $n_M>max{n_M',n_M''}$ avrò sicuramente che $a_n*b_n<-M'$. Casomai la dimostrazione fosse giusta, ci terrei a precisare che ho proceduto in modo meccanico piuttosto che in modo logico. Ancora ho difficoltà ad esempio ad inquadrare il fatto del $n_M>max{n_M',n_M''}$; quando bisogna usarlo quando meno... Ancora le guardo frontalmente queste cose; ahimé non dall'alto. Grazie a tutti.
Sai che da un certo indice $n_M$ in poi $a_n > M$ e sai che da un certo indice $\nu$ in poi $b_n < 1$. Tu vuoi considerare un indice $N$ tale che $\forall n > N$ valgano entrambe le disuguaglianze. Per capirci:
$[ n_M , + \infty ) \cap NN$ è l'ins. degli indici per cui vale $a_n > M$
$[ \nu , + \infty ) \cap NN$ è l'ins. degli indici per cui vale $b_n < -1$
L'intersezione di questi due insiemi (cioè l'ins. degli indici per cui valgono entrambe le disuguaglianze) è $[ \max \{ n_M , \nu \} , + \infty ) \cap NN$.
$[ n_M , + \infty ) \cap NN$ è l'ins. degli indici per cui vale $a_n > M$
$[ \nu , + \infty ) \cap NN$ è l'ins. degli indici per cui vale $b_n < -1$
L'intersezione di questi due insiemi (cioè l'ins. degli indici per cui valgono entrambe le disuguaglianze) è $[ \max \{ n_M , \nu \} , + \infty ) \cap NN$.
Il fatto che bisogna prendere l'indice più alto vale per tutte le successioni generiche, giusto?
Potrei per esempio avere una successione dove la proprietà vale anche per un n più grande dell'indice più piccolo?
Grazie del'aiuto.
Potrei per esempio avere una successione dove la proprietà vale anche per un n più grande dell'indice più piccolo?
Grazie del'aiuto.
Non capisco cosa intendi. Puoi chiarirmi il tuo dubbio?
Si,Francesco,potrebbe capitare
(mi vien da pensare al caso $k=10,a_n=e^n,b_n=logn$ $AAn in NN$..):
solo che la conclusione cui siamo interessati dipenderebbe troppo dai termini generali delle successioni di partenza
(ad esempio il tuo criterio non andrebbe bene,per $k=3$,
se $a_n=n^2,b_n=logn$ $AA n in NN$..),
e tale tesi non potrebbe dunque esser assunta come certamente vera.
Saluti dal web.
(mi vien da pensare al caso $k=10,a_n=e^n,b_n=logn$ $AAn in NN$..):
solo che la conclusione cui siamo interessati dipenderebbe troppo dai termini generali delle successioni di partenza
(ad esempio il tuo criterio non andrebbe bene,per $k=3$,
se $a_n=n^2,b_n=logn$ $AA n in NN$..),
e tale tesi non potrebbe dunque esser assunta come certamente vera.
Saluti dal web.
Ho verificato che ciò che hai detto è effettivamente vero @theras ! Per cui il fatto di scegliere $n>max{v',v''}$ per la successione prodotto è un qualcosa che in un certo senso mi da la certezza di non sbagliare. Anche se (Affrontando il problema successione per successione) se ne potrebbero incontrare alcune tali che $n>V$ con $v'<=V<=v''$. Giusto?
Grazie a tutti e due!
! Per cui il fatto di scegliere $n>max{v',v''}$ per la successione prodotto è un qualcosa che in un certo senso mi da la certezza di non sbagliare. Anche se (Affrontando il problema successione per successione) se ne potrebbero incontrare alcune tali che $n>V$ con $v'<=V<=v''$. Giusto?Grazie a tutti e due!
Certamente Francesco,
ma prendi questa osservazione,ormai acquisita definitivamente,per quel che è:
una curiosità,
dietro la quale stà la verità di fondo che,$AA a,b,c,d in RR$,
da $a>=b$,$c>=d$ può dedursi per certo solo $ac>=bd$
(ma ciò non vuol dire che non ci siano casi nei quali la tesi è vera con l'ipotesi falsa,
ma solo che,se esistono,
tali eventualità non sono regola..)!
Saluti dal web.
ma prendi questa osservazione,ormai acquisita definitivamente,per quel che è:
una curiosità,
dietro la quale stà la verità di fondo che,$AA a,b,c,d in RR$,
da $a>=b$,$c>=d$ può dedursi per certo solo $ac>=bd$
(ma ciò non vuol dire che non ci siano casi nei quali la tesi è vera con l'ipotesi falsa,
ma solo che,se esistono,
tali eventualità non sono regola..)!
Saluti dal web.
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