Prodotto di funzioni integrabili

[bernardo2]

Salve a tutti volevo sapere se qualcuno di voi sapeva dimostrare che se f,g sono due funzioni da [a,b] ad R integrabili secondo Riemann, allora anche il loro prodotto f*g è integrabile grazie

[dissonance]

Ti conviene usare questo approccio:
dimostra preliminarmente che, data una funzione $f$ R-integrabile, anche $f^2$ lo è (o se vuoi la massima generalità, dimostra che se $Phi$ è continua e $f$ R-integrabile, allora $Phicircf$ è R-integrabile. Ma questo è più difficilotto. Per i dettagli di questa proposizione puoi consultare il Rudin Principi di analisi matematica);

osserva che $(f+g)^2=f^2+2fg+g^2$, da cui $fg=1/2[(f+g)^2-f^2-g^2]$;

concludi ricordando che le combinazioni lineari di funzioni R-integrabili sono esse stesse R-integrabili.

[Sidereus1]

"bernardo":Salve a tutti volevo sapere se qualcuno di voi sapeva dimostrare che se f,g sono due funzioni da [a,b] ad R integrabili secondo Riemann, allora anche il loro prodotto f*g è integrabile grazie

Non si può dimostrare perché è falso.
Poni $[a,b]=[0,1]$, $f(x)=1/(sqrt(x))$ in (0,1] e $f(x)=0$ in 0, nonché $g(x)=1/(2sqrt(x))$ in (0,1] e $g(x)=0$ in 0. Allora f e g sono integrabili in [0,1], ma il loro prodotto non lo è.
Devi fare ipotesi diverse, per esempio che $f^2$ e $g^2$ siano integrabili.

[dissonance]

Sidereus ha ragione, naturalmente quello che dicevo io è subordinato alla condizione che $f, g$ siano limitate. In questi giorni è ricorsa spesso questa confusione. Il fatto è che io tendo a considerare "Riemann-integrabili" solo le funzioni "limitate e Riemann-integrabili", come si fa al primo anno. Mentre le funzioni di cui parla Sidereus le considero "impropriamente integrabili". Suppongo che questo sia il tipico schema mentale dei primi anni di università.