Prodotto di funzioni discontinue

[Papipev]

Buongiorno a tutti, è la prima volta che scrivo nel Forum quindi chiedo perdono per eventuali errori che commetterò.

Sto studiando Analisi 1 e il mio professore, per farci esercitare nella comprensione della teoria, ci ha fornito alcuni quesiti teorici in vista dell'esame.

Vi pongo qui di seguito l'esercizio che mi ha messo in crisi fra quelli da lui proposti:

"Date due funzioni discontinue in $x_0$ dimostra che il loro prodotto è una funzione discontinua in $x_0$."

Ecco, io so che esiste un teorema (correggetemi se sbaglio) che conferma la continuità del prodotto di funzioni continue così come per la somma e la divisione, ma in tutti i miei appunti non mi pare di aver trovato nulla riguardo operazioni fra funzioni discontinue. Mi vengono in mente funzioni con discontinuità di seconda specie in cui sembra quasi ovvia la dimostrazione, ma immagino che debba considerare qualsiasi tipo di discontinuità e, considerato questo, ricavarne una dimostrazione mi lascia un po' spiazzato. Qualcuno con un po' più di esperienza riuscirebbe a darmi una mano per cercare di arrivare ad una soluzione? Vi sarei molto grato.

[gugo82]

Questo teorema è ovviamente falso ed è semplice constatarlo producendo controesempi.

[Daken97]

Un controesempio, molto banale (ma quello che basta), è il seguente:

$ f(x)={ ( x+3 ),( x+2 ):} $, $ g(x)={ ( x+2 ),( x+3 ):} $ sono entrambe definite (da me) nel primo tratto per $ x<=2 $, e per $ x>2 $ nel secondo tratto, e presentano in $ x=2 $ un punto di discontinuità.

$ f(x)g(x) $ altro non è che la funzione $ (x+3)(x+2) $, definita nell'intero insieme dei numeri reali (provare per credere), ed essa è continua in tutto il dominio.

[gugo82]

Esempio più banale:

$f(x) := \{(0, text(, se ) x <0), (1, text(, se ) x >=0):}$ e $g(x) := 1-f(x) =\{(1, text(, se ) x<0), (0, text(, se ) x>=0):}$.