Prodotto di convoluzione \( f * f \), con $f(*)= e^{-|*|^2}$

[Seneca1]

Qualcuno ha qualche idea per calcolare \( f * f \) (prodotto di convoluzione) dove $f(x) = e^{-|x|^2}$ , $x \in RR^N$?

\[ ( f * f )(x) = \int_{\mathbb{R}^N} e^{- |x - y|^2 - |y|^2} d \mu(y) \]

[ciampax]

Perché è apparso un $-$ ad esponente? O forse la funzione era $e^{-|x|^2}$ (cosa probabile)? Pensa al caso semplice in $RR$: l'esponente si scrive

$-x^2-2xy-y^2-y^2=-x^2-2xy-2y^2=-x^2-2(y^2+xy)=-x^2-2(y^2+xy+x^2/4-x^2/4)=$
$=-x^2-2(y+x/2)^2+x^2/2=-x^2/2-2(y+x/2)^2$

Se ora il termine on esponente $-x^2/2$ lo porti fuori dall'integrale e poni all'interno di esso $\sqrt{2}(y+x/2)=s$ ti riduci al calcolo dell'integrale di $e^{-s^2}$

[Seneca1]

Esattamente, c'era un $-$ ad esponente. Ti ringrazio!

Nel caso di $RR^N$ come si può fare, invece?

[ciampax]

Uguale uguale! Considera che

$-|x-y|^2-|y|^2=-\sum_{i=1}^N (x_i-y_i)^2-\sum_{i=1}^N y_i^2=\sum_{i=1}^N-(x_i-y_i)^2-y_i^2$

e da quello che ho scritto prima hai una espressione per ogni $i$ fissata. Infine ricorda che $e^{\sum_{i=1}^N a_i}=\prod_{i=1}^N e^{a_i}$ e che l'integrale multiplo su un prodotto di funzioni ciascuna dipendente da una variabile distinta equivale ad un prodotto di integrali per concludere che dovrai calcolare l'integrale del caso 1-dimensiona elevato all $N$.

P.S.: se vuoi ti scrivo tutto, ma conoscendoti so che non ce ne sarà bisogno.

[Seneca1]

Non serve; sei stato illuminante. Grazie!