Prodotto di Cauchy tra più di due serie
Buonasera, risolvendo gli esercizi sugli sviluppi in serie di Laurent mi sta capitando spesso di dover effettuare il prodotto tra più di due serie e sinceramente non so se il modo in cui procedo è analiticamente corretto..Per esempio :
Innazitutto noto che \(\displaystyle z=-1 \) è un punto regolare per \(\displaystyle f(z) \) quindi mi aspetto di trovare lo sviluppo di Taylor. Riscrivendo la funzione in modo "conveniente" si ha :
sviluppando in serie si ottiene :
Gia così si vede che non ho nessun termine con esponente negativo quindi la tesi è confermata, tuttavia volendo "abbellire" un pò quella scrittura vado ad effettuare il prodotto di Cauchy tra le prime due ottenendo quindi :
adesso, volendo continuare come dovrei procedere? Avevo pensato di scrivere una cosa del tipo :
ma non sono del tutto sicuro che quella scrittura abbia senso matematico..
\(\displaystyle f(z) = \frac{z+2}{z(z-2)(z-1)} \;\;\;\; \) da sviluppare in \(\displaystyle 1 < |z+1|<2 \)
Innazitutto noto che \(\displaystyle z=-1 \) è un punto regolare per \(\displaystyle f(z) \) quindi mi aspetto di trovare lo sviluppo di Taylor. Riscrivendo la funzione in modo "conveniente" si ha :
\(\displaystyle f(z) = \left( - \frac{1}{1-(z+1)} \right) \cdot \left(- \frac{1}{3} \; \frac{1}{1- \frac{z+1}{3}} \right) \cdot \left(- \frac{1}{2} \; \frac{1}{1-\frac{z+1}{2}} \right) \cdot (1+(z+1)) \)
sviluppando in serie si ottiene :
\(\displaystyle = - \left( \sum_{n=0}^{\infty} (z+1)^n \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z+1)^n}{3^{n+1}} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z+1)^n}{2^{n+1}} \right) (1+(z+1)) \)
Gia così si vede che non ho nessun termine con esponente negativo quindi la tesi è confermata, tuttavia volendo "abbellire" un pò quella scrittura vado ad effettuare il prodotto di Cauchy tra le prime due ottenendo quindi :
\(\displaystyle = - \left( \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{(z+1)^n}{3^{n-k+1}} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z+1)^n}{2^{n+1}} \right) (1+(z+1)) \)
adesso, volendo continuare come dovrei procedere? Avevo pensato di scrivere una cosa del tipo :
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{(z+1)^n}{3^{n-k+1}} = \sum_{j=0}^{\infty} a_j (z+1)^j \;\;\;\;\;\; \) dove \(\displaystyle a_j = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{3^{n-k+1}} \)
ma non sono del tutto sicuro che quella scrittura abbia senso matematico..
Risposte
E se invece lo dividi in fratti semplici, e poi fai la somma dei 3 sviluppi dei 3 termini?
Cavolo hai ragione! A volte mi perdo in un bicchier d'acqua senza motivo..A riguardo volevo chiederti un altro piccolo aiuto su questo esercizio:
Sviluppare \(\displaystyle f(z) \) in serie di Laurent in \(\displaystyle 0<|z|<1 \) dove :
Innanzitutto noto che essendo :
allora \(\displaystyle z=0 \) è un polo di ordine \(\displaystyle 2 \) per \(\displaystyle f(z) \) quindi mi aspetto di trovare uno sviluppo in serie di Laurent in cui figurano due termini con esponente negativo. Inoltre :
quindi la funzione è pari, di conseguenza mi aspetto che tutti i termini dispari siano nulli. Adesso possiamo scrivere anche :
quindi si tratta di dover sviluppare \(\displaystyle g(x) = sen(z)^{-1} \). Notando che \(\displaystyle g(z) \) è dispari e \(\displaystyle z=0 \) è un polo del primo ordine per \(\displaystyle g(z) \) abbiamo che :
inoltre essendo :
allora effettuando il prodotto di Cauchy tra serie possiamo scrivere :
da qui si ottiene il seguente sistema di infinite equazioni :
quindi, infine:
e sembrerebbe tutto ok perchè abbiamo due termini con esponente negativo (uno dei due è nullo perchè essendo \(\displaystyle f(z) \) pari il termine \(\displaystyle z^{-1} \) ha coefficiente nullo). Tuttavia se sviluppo arrestandomi al secondo ordine ottengo :
quando in realtà (con Mathematica) dovrebbe essere \(\displaystyle \frac{7}{6} + \frac{1}{z^2} + ... \) , è come se nello sviluppo in serie del seno non ci fosse il \(\displaystyle (-1)^n \) che mi fa oscillare i coefficienti..infatti se non considerassi quel termine otterrei esattamente la serie che mi fornisce Mathematica..dove ho sbagliato qui?
Sviluppare \(\displaystyle f(z) \) in serie di Laurent in \(\displaystyle 0<|z|<1 \) dove :
\(\displaystyle f(z) = \frac{z^2+1}{z\;sen(z)} \)
Innanzitutto noto che essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} z^m f(z) = \lim_{z \to 0} z^{m-2} (z^2+1) \frac{z}{sen(z)} \neq 0 \;\;\;\; \leftrightarrow \;\;\;\; m = 2 \)
allora \(\displaystyle z=0 \) è un polo di ordine \(\displaystyle 2 \) per \(\displaystyle f(z) \) quindi mi aspetto di trovare uno sviluppo in serie di Laurent in cui figurano due termini con esponente negativo. Inoltre :
\(\displaystyle f(-z) = \frac{z^2+1}{z\;sen(z)} = f(z) \)
quindi la funzione è pari, di conseguenza mi aspetto che tutti i termini dispari siano nulli. Adesso possiamo scrivere anche :
\(\displaystyle f(z) = \frac{z^2+1}{z} \cdot \frac{1}{sen(z)} = \left(z + \frac{1}{z}\right) \cdot \frac{1}{sen(z)} \)
quindi si tratta di dover sviluppare \(\displaystyle g(x) = sen(z)^{-1} \). Notando che \(\displaystyle g(z) \) è dispari e \(\displaystyle z=0 \) è un polo del primo ordine per \(\displaystyle g(z) \) abbiamo che :
\(\displaystyle g(z) = \frac{1}{sen(z)} = \sum_{n=-1}^{\infty} a_{2n+1} z^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n-1} z^{2n-1} \)
inoltre essendo :
\(\displaystyle sen(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \ \)
allora effettuando il prodotto di Cauchy tra serie possiamo scrivere :
\(\displaystyle 1 = \frac{1}{sen(z)} \cdot sen(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k} \;a_{2k-1}}{(2n-2k+1)!} z^{2n} \)
da qui si ottiene il seguente sistema di infinite equazioni :
\(\displaystyle \begin{cases} a_{-1} = 1 \\ a_{2n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{n-k} \; a_{2k-1}}{(2n-2k+1)!} \end{cases} \)
quindi, infine:
\(\displaystyle f(z) = \left(z + \frac{1}{z}\right) \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n-1} z^{2n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n-1} z^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n-1} z^{2n-2} \)
e sembrerebbe tutto ok perchè abbiamo due termini con esponente negativo (uno dei due è nullo perchè essendo \(\displaystyle f(z) \) pari il termine \(\displaystyle z^{-1} \) ha coefficiente nullo). Tuttavia se sviluppo arrestandomi al secondo ordine ottengo :
\(\displaystyle = a_{-1} + a_{-1} z^{-2} + a_1 z^2 + a_1 + ... = 1 + \frac{1}{z^2} - \frac{z^2}{6} - \frac{1}{6} + ... = \frac{5}{6} + \frac{1}{z^2} - \frac{z^2}{6} + ...\)
quando in realtà (con Mathematica) dovrebbe essere \(\displaystyle \frac{7}{6} + \frac{1}{z^2} + ... \) , è come se nello sviluppo in serie del seno non ci fosse il \(\displaystyle (-1)^n \) che mi fa oscillare i coefficienti..infatti se non considerassi quel termine otterrei esattamente la serie che mi fornisce Mathematica..dove ho sbagliato qui?