Prodotto di Cauchy tra più di due serie

[Oiram92]

Buonasera, risolvendo gli esercizi sugli sviluppi in serie di Laurent mi sta capitando spesso di dover effettuare il prodotto tra più di due serie e sinceramente non so se il modo in cui procedo è analiticamente corretto..Per esempio :

\(\displaystyle f(z) = \frac{z+2}{z(z-2)(z-1)} \;\;\;\; \) da sviluppare in \(\displaystyle 1 < |z+1|<2 \)

Innazitutto noto che \(\displaystyle z=-1 \) è un punto regolare per \(\displaystyle f(z) \) quindi mi aspetto di trovare lo sviluppo di Taylor. Riscrivendo la funzione in modo "conveniente" si ha :

\(\displaystyle f(z) = \left( - \frac{1}{1-(z+1)} \right) \cdot \left(- \frac{1}{3} \; \frac{1}{1- \frac{z+1}{3}} \right) \cdot \left(- \frac{1}{2} \; \frac{1}{1-\frac{z+1}{2}} \right) \cdot (1+(z+1)) \)

sviluppando in serie si ottiene :

\(\displaystyle = - \left( \sum_{n=0}^{\infty} (z+1)^n \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z+1)^n}{3^{n+1}} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z+1)^n}{2^{n+1}} \right) (1+(z+1)) \)

Gia così si vede che non ho nessun termine con esponente negativo quindi la tesi è confermata, tuttavia volendo "abbellire" un pò quella scrittura vado ad effettuare il prodotto di Cauchy tra le prime due ottenendo quindi :

\(\displaystyle = - \left( \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{(z+1)^n}{3^{n-k+1}} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z+1)^n}{2^{n+1}} \right) (1+(z+1)) \)

adesso, volendo continuare come dovrei procedere? Avevo pensato di scrivere una cosa del tipo :

\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{(z+1)^n}{3^{n-k+1}} = \sum_{j=0}^{\infty} a_j (z+1)^j \;\;\;\;\;\; \) dove \(\displaystyle a_j = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{3^{n-k+1}} \)

ma non sono del tutto sicuro che quella scrittura abbia senso matematico..

[Ernesto011]

E se invece lo dividi in fratti semplici, e poi fai la somma dei 3 sviluppi dei 3 termini?

[Oiram92]

Cavolo hai ragione! A volte mi perdo in un bicchier d'acqua senza motivo..A riguardo volevo chiederti un altro piccolo aiuto su questo esercizio:

Sviluppare \(\displaystyle f(z) \) in serie di Laurent in \(\displaystyle 0<|z|<1 \) dove :

\(\displaystyle f(z) = \frac{z^2+1}{z\;sen(z)} \)

Innanzitutto noto che essendo :

\(\displaystyle \lim_{z \to 0} z^m f(z) = \lim_{z \to 0} z^{m-2} (z^2+1) \frac{z}{sen(z)} \neq 0 \;\;\;\; \leftrightarrow \;\;\;\; m = 2 \)

allora \(\displaystyle z=0 \) è un polo di ordine \(\displaystyle 2 \) per \(\displaystyle f(z) \) quindi mi aspetto di trovare uno sviluppo in serie di Laurent in cui figurano due termini con esponente negativo. Inoltre :

\(\displaystyle f(-z) = \frac{z^2+1}{z\;sen(z)} = f(z) \)

quindi la funzione è pari, di conseguenza mi aspetto che tutti i termini dispari siano nulli. Adesso possiamo scrivere anche :

\(\displaystyle f(z) = \frac{z^2+1}{z} \cdot \frac{1}{sen(z)} = \left(z + \frac{1}{z}\right) \cdot \frac{1}{sen(z)} \)

quindi si tratta di dover sviluppare \(\displaystyle g(x) = sen(z)^{-1} \). Notando che \(\displaystyle g(z) \) è dispari e \(\displaystyle z=0 \) è un polo del primo ordine per \(\displaystyle g(z) \) abbiamo che :

\(\displaystyle g(z) = \frac{1}{sen(z)} = \sum_{n=-1}^{\infty} a_{2n+1} z^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n-1} z^{2n-1} \)

inoltre essendo :

\(\displaystyle sen(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \ \)

allora effettuando il prodotto di Cauchy tra serie possiamo scrivere :

\(\displaystyle 1 = \frac{1}{sen(z)} \cdot sen(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k} \;a_{2k-1}}{(2n-2k+1)!} z^{2n} \)

da qui si ottiene il seguente sistema di infinite equazioni :

\(\displaystyle \begin{cases} a_{-1} = 1 \\ a_{2n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{n-k} \; a_{2k-1}}{(2n-2k+1)!} \end{cases} \)

quindi, infine:

\(\displaystyle f(z) = \left(z + \frac{1}{z}\right) \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n-1} z^{2n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n-1} z^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n-1} z^{2n-2} \)

e sembrerebbe tutto ok perchè abbiamo due termini con esponente negativo (uno dei due è nullo perchè essendo \(\displaystyle f(z) \) pari il termine \(\displaystyle z^{-1} \) ha coefficiente nullo). Tuttavia se sviluppo arrestandomi al secondo ordine ottengo :

\(\displaystyle = a_{-1} + a_{-1} z^{-2} + a_1 z^2 + a_1 + ... = 1 + \frac{1}{z^2} - \frac{z^2}{6} - \frac{1}{6} + ... = \frac{5}{6} + \frac{1}{z^2} - \frac{z^2}{6} + ...\)

quando in realtà (con Mathematica) dovrebbe essere \(\displaystyle \frac{7}{6} + \frac{1}{z^2} + ... \) , è come se nello sviluppo in serie del seno non ci fosse il \(\displaystyle (-1)^n \) che mi fa oscillare i coefficienti..infatti se non considerassi quel termine otterrei esattamente la serie che mi fornisce Mathematica..dove ho sbagliato qui?