Prodotto di Cauchy di serie di Fourier
Ciao, amici! Nello spaziodelle successioni (complesse) \(\{x_k\}\) assolutamente sommabili, cioè talei che \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|x_k|<\infty\), si definisca il prodotto \(x\ast y\) tra due tali successioni \(x=\{x_k\}\) e \(y=\{y_k\}\) in modo che l'$n$-esimo elemento della successione prodotto sia\[(x\ast y)_n:= \sum_{k=-\infty}^{\infty}x_{n-k}y_k\]Leggo, nell'appendice a cura di V.M. Tikhomirov al Kolmogorov-Fomin , che, mettendo la successione $x$ in corrispondenza con la serie di Fourier \(x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k e^{\text{i}kt}\), $t\in[0,2\pi]$, allora la successione \(\{(x\ast y)_k\}\) corrisponde al prodotto delle funzioni \(x(t)\cdot y(t)\).
Ho provato a verificarlo calcolando il prodotto di Cauchy \(x(t)y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k e^{\text{i}kt} \sum_{k=-\infty}^{\infty}y_k e^{\text{i}kt}\), ma ottengo qualcosa come, sperando di non aver sbagliato,
$x(t)y(t)=(\sum_{k=0}^{\infty}x_k e^{\text{i}kt}+\sum_{k=1}^{\infty}x_{-k} e^{-\text{i}kt}) (\sum_{k=0}^{\infty}y_k e^{\text{i}kt}+\sum_{k=1}^{\infty}y_{-k} e^{-\text{i}kt})$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} x_{n-k}y_k e^{\text{i}nt}+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} x_{n-k}y_{-k-1} e^{\text{i}(n-2k-1)t}+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} x_{-n+k-1}y_{k} e^{\text{i}(-n+2k-1)t}+$
$+\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{n} x_{-n+k-1}y_{-k} e^{\text{i}(-n-1)t}$, per verificare l'$m$-esimo coefficiente \((x\ast y)_m\) del quale non saprei neanche come fare...
Suppongo che ci sia un modo più diretto per vedere che, se non interpreto male ciò che dice il libro, \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k e^{\text{i}kt} \sum_{k=-\infty}^{\infty}y_k e^{\text{i}kt}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_{n-k}y_k e^{\text{i}kt}\)...
Grazie di cuore per ogni aiuto!!!
Ho provato a verificarlo calcolando il prodotto di Cauchy \(x(t)y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k e^{\text{i}kt} \sum_{k=-\infty}^{\infty}y_k e^{\text{i}kt}\), ma ottengo qualcosa come, sperando di non aver sbagliato,
$x(t)y(t)=(\sum_{k=0}^{\infty}x_k e^{\text{i}kt}+\sum_{k=1}^{\infty}x_{-k} e^{-\text{i}kt}) (\sum_{k=0}^{\infty}y_k e^{\text{i}kt}+\sum_{k=1}^{\infty}y_{-k} e^{-\text{i}kt})$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} x_{n-k}y_k e^{\text{i}nt}+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} x_{n-k}y_{-k-1} e^{\text{i}(n-2k-1)t}+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} x_{-n+k-1}y_{k} e^{\text{i}(-n+2k-1)t}+$
$+\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{n} x_{-n+k-1}y_{-k} e^{\text{i}(-n-1)t}$, per verificare l'$m$-esimo coefficiente \((x\ast y)_m\) del quale non saprei neanche come fare...
Suppongo che ci sia un modo più diretto per vedere che, se non interpreto male ciò che dice il libro, \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k e^{\text{i}kt} \sum_{k=-\infty}^{\infty}y_k e^{\text{i}kt}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_{n-k}y_k e^{\text{i}kt}\)...
Grazie di cuore per ogni aiuto!!!
Risposte
Indicando $X_k= x_k e^{ikt},\ Y_k=y_k e^{ikt}$ allora l'$n$-imo termine del prodotto di Caychy delle serie $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_k,\ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} Y_k$ corrisponde a
$$C_n=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_{n-k} Y_k=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_{n-k} e^{i(n-k)t} y_k e^{ikt}=c_n e^{int}$$
dove $c_n=(x\star y)_n$. Per cui come vedi il prodotto delle funzioni $x(t)\cdot y(t)$ è associato alla funzione
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int}$$
per cui tale prodotto di funzioni risulta naturalmente associato alla successione $\{c_n\}$ (che è il senso della cosa che ti viene detta).
$$C_n=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_{n-k} Y_k=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_{n-k} e^{i(n-k)t} y_k e^{ikt}=c_n e^{int}$$
dove $c_n=(x\star y)_n$. Per cui come vedi il prodotto delle funzioni $x(t)\cdot y(t)$ è associato alla funzione
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int}$$
per cui tale prodotto di funzioni risulta naturalmente associato alla successione $\{c_n\}$ (che è il senso della cosa che ti viene detta).
Ah, ecco...
$+\infty$ grazie!!!
"ciampax":Questo come si può vedere? Io so solo che, se almeno una delle successioni \(\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}^+}\) e \(\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}^+}\) è assolutamente convergente, e qui lo sono entrambe, allora \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot\sum_{n=0}^{\infty}b_n=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k\), e ho cercato di applicarlo alle serie di sopra con il maldestro risultato di sopra, ma non riesco ad arrangiare i termini per ottenere i $C_n$ della forma \(\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{n-k} b_k\), cioè \(\sum_{k=0}^{+\infty} a_{n-k} b_k+\sum_{k=1}^{+\infty} a_{n+k} b_{-k}\)...
l'$ n $-imo termine del prodotto di Caychy delle serie $ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_k,\ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} Y_k $ corrisponde a \(C_n=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_{n-k} Y_k=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_{n-k} e^{i(n-k)t} y_k e^{ikt}=c_n e^{int} \)
$+\infty$ grazie!!!
Davide, mi sa che fai un po' di confusione. Non è una questione di convergenza o altro, qui si parla di serie "formali". Il senso è il seguente: ad ogni successione $\{x_k\}$ puoi associare una serie, formale data da $x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_k e^{ikt}$. Il succo del discorso che ti sta facendo è che se prendi le successioni $\{x_k\},\ \{y_k\}$ a cui sono associate le funzioni $x(t),\ y(t)$, al prodotto $x(t)\cdot y(t)$ viene associata la serie $\{c_k=(x_k\star y_k)\}$.
Il calcolo che fai tu è sbagliato proprio "a priori": per definizione, il prodotto alla Cauchy di due serie di termini $a_n,\ b_n$ è la serie con termine generale $c_n=\sum a_{n-k} b_k$. Punto.
Il calcolo che fai tu è sbagliato proprio "a priori": per definizione, il prodotto alla Cauchy di due serie di termini $a_n,\ b_n$ è la serie con termine generale $c_n=\sum a_{n-k} b_k$. Punto.
Capito. Quanto a \(\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int}\) con i $c_n$ calcolati come sopra, possiamo sapere se, comunque, converge quando almeno una, o tutte e due, le successioni \(\{x_k e^{ikt}\}\) e \(\{y_k^{ikt}\}\) sono assolutamente sommabili e se converge proprio a \(x(t)y(t)\)? Mi sembrerebbe un fatto interessante di per sé... Grazie di cuore ancora!
Ovvio che sì: lo concludi dallo studio delle serie di funzioni.
Per dimostrarlo è sufficiente sapere che se \(\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}^+}\) e \(\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}^+}\) sono assolutamente convergenti allora \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot\sum_{n=0}^{\infty}b_n=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k\) o serve un armamentario teorico più avanzato? Io mi sono imbattuto solo nelle serie di Laurent che abbiano "estremi" entrambi infiniti e non so come trattare tali espressioni, se non scrivendo \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\) come \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n+\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}\), ma così arrivo solo a conti maldestri come quelli di sopra...
Grazie di cuore ancora!!!
Grazie di cuore ancora!!!
Mah, guarda un po' la teoria delle serie di funzioni, in generale. Comunque la convergenza uniforme di una dovrebbe essere sufficiente.
Grazie ancora!!! Sono quattro giorni che mi ci arrovello, ma non sto trovando niente a riguardo né nei miei libri -ho cercato qui e qui- né in rete e ottengo solo
$(\sum_{k=-M}^{N}a_k)(\sum_{k=-P}^{Q}b_k)=\sum_{k=0}^{N}a_k\sum_{k=0}^{Q}b_k+\sum_{k=1}^{N}a_{-k}\sum_{k=0}^{Q}b_k$ $+\sum_{k=0}^{N}a_k\sum_{k=1}^{P}b_{-k}+\sum_{k=1}^{M}a_{-k}\sum_{k=1}^{P}b_{-k}$ dove $M,N,P,Q$ sono poi da far tendere a $+\infty$, ma, provando qualunque rimaneggiamento di queste somme non arrivo a nulla.
Pensare che sembrerebbe intuitivamente così evidente che, se \( (\sum_{n=0}^{\infty}a_n)(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k \), allora \( (\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n)(\sum_{n=-\infty}^{\infty}b_n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{n-k}b_k \)...
Grazie di cuore ancora a te e a chiunque altro contibuisca!!!
$(\sum_{k=-M}^{N}a_k)(\sum_{k=-P}^{Q}b_k)=\sum_{k=0}^{N}a_k\sum_{k=0}^{Q}b_k+\sum_{k=1}^{N}a_{-k}\sum_{k=0}^{Q}b_k$ $+\sum_{k=0}^{N}a_k\sum_{k=1}^{P}b_{-k}+\sum_{k=1}^{M}a_{-k}\sum_{k=1}^{P}b_{-k}$ dove $M,N,P,Q$ sono poi da far tendere a $+\infty$, ma, provando qualunque rimaneggiamento di queste somme non arrivo a nulla.
Pensare che sembrerebbe intuitivamente così evidente che, se \( (\sum_{n=0}^{\infty}a_n)(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k \), allora \( (\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n)(\sum_{n=-\infty}^{\infty}b_n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{n-k}b_k \)...
Grazie di cuore ancora a te e a chiunque altro contibuisca!!!
Teorema di Mertens: date due serie convergenti a $a$ e $b$ rispettivamente, con una assolutamente convergente, allora la serie prodotto alla Cauchy converge a $c=ab$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo