Prodotto di Cauchy di due serie

[Edoxschool2003]

Volevo chiedere una delucidazione sulla dimostrazione della convergenza del prodotto di Cauchy di due serie, presente al seguente indirizzo: https://mate.unipv.it/gilardi/WEBGG/PSPDF/prod-Cauchy.pdf.

Quando considera [le sommatorie sono da 0 a $n$] $\sum a_iD_{n-i}$ (righe 21 sig.), essenzialmente dimostra che $|\sum a_iD_{n-i}|\leq\sum |a_iD_{n-i}|\leq ... \leq \epsilon (A'+M) $, quindi la serie è infinitesima. Ma anche $|(\sum |a_iD_{n-i}|)|=\sum |a_iD_{n-i}|\leq \epsilon (A'+M)$, per cui anche $\sum_{n=0}^\infty |a_iD_{n-i}|=0$, il che direi essere vero solo se sempre $a_iD_{n-i}=0$, cosa che mi sembra, in generale, falsa. Qualcuno riesce a chiarire?

[Quinzio]

"dodogargiulo": per cui anche $\sum_{n=0}^\infty |a_iD_{n-i}|=0$, il che direi essere vero solo se sempre $a_iD_{n-i}=0$, cosa che mi sembra, in generale, falsa. Qualcuno riesce a chiarire?

Perche' dici che e' falso che $a_iD_{n-i} = 0$ ? (da intendere come $lim_{i -> \infty} a_iD_{n-i} = 0$ con $n > i$)

$D_{n-i}$ e' limitato e $a_i$ diventa infinitesimo al crescere di $i$, quindi anche il loro prodotto diventa infinitesimo.

Ti torna ?

[Edoxschool2003]

Non mi è chiara una cosa. In generale, io ho che
$\sum _{i=0}^\infty t_i=\lim_{n\to \infty}\sum _{i=0}^\n t_i$, dove il termine generale della somma dipende solo da $i$ e non da $n$. Per cui, in questo caso in cui il termine generale dipende sia da $i$ che da $n$,in che modo $ \lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^n |a_iD_{n-i}|$ è legato a $\sum_{i=0}^\infty |a_iD_{n-i}| $?