Prodotto del limite di successioni
ho $ a $ e $ b $ due successioni di termini positivi tali che $ ab -> 1 $ per $ n ->+oo $
- $ a->0 $ e $ b->+oo $ per $ x->+oo $
- $ a=1/b $ definitivamente
- esiste $ L>0 $ tale che $ a->L $ e $ b->1/L $ per $ x->+oo $
-nessuna delle risposte precedenti è vera
La risposta giusta è l'ultima!!
Quello che mi chiedo èil fatto che $ ab $ abbia limite 1 non vuol dire che il prodotto tra il limite di $ a $ e il limite di $ b $ sia uguale al limite di $ ab $ giusto???? per questo la terza risposta è sbagliata?
Ma perchè anche la prima è sbagliata? (ho provato ad invetarmi due successioni e facendo il limite del loro prodotto mi si verifica proprio il primo caso)
Ho bisogno di aiuto perchè domani ho l'esame e sono nel panico!!!!
- $ a->0 $ e $ b->+oo $ per $ x->+oo $
- $ a=1/b $ definitivamente
- esiste $ L>0 $ tale che $ a->L $ e $ b->1/L $ per $ x->+oo $
-nessuna delle risposte precedenti è vera
La risposta giusta è l'ultima!!
Quello che mi chiedo èil fatto che $ ab $ abbia limite 1 non vuol dire che il prodotto tra il limite di $ a $ e il limite di $ b $ sia uguale al limite di $ ab $ giusto???? per questo la terza risposta è sbagliata?
Ma perchè anche la prima è sbagliata? (ho provato ad invetarmi due successioni e facendo il limite del loro prodotto mi si verifica proprio il primo caso)
Ho bisogno di aiuto perchè domani ho l'esame e sono nel panico!!!!
Risposte
Le successioni costanti [tex]a_n = 1[/tex] e [tex]b_n = 1[/tex] soddisfano l'enunciato ([tex]a_n b_n \to 1[/tex] se [tex]n\to+\infty[/tex]), però non si verifica la prima condizione.
Poi considera le successioni
[tex]a_n = \left\{\begin{matrix}n+1 \mbox{ se } n\mbox{ è pari} \\
\frac{1}{n+1} \mbox{ altrimenti}\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]b_n = \left\{\begin{matrix}\frac{1}{n} \mbox{ se } n \mbox{ è pari} \\
n \mbox{ altrimenti}\end{matrix}\right.[/tex]
queste due successioni soddisfano l'enunciato, ma non soddisfano la seconda condizione, come è facile verificare e non soddisfano nemmeno l'ultima semplicemente perché i limiti delle due successioni prese singolarmente non esistono.
Forse esistono controesempi più facili, ma al momento mi è venuto solo questo...
Ah, btw il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti, a patto che questi esistano (non come nell'esempio che ti ho dato io...)
Poi considera le successioni
[tex]a_n = \left\{\begin{matrix}n+1 \mbox{ se } n\mbox{ è pari} \\
\frac{1}{n+1} \mbox{ altrimenti}\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]b_n = \left\{\begin{matrix}\frac{1}{n} \mbox{ se } n \mbox{ è pari} \\
n \mbox{ altrimenti}\end{matrix}\right.[/tex]
queste due successioni soddisfano l'enunciato, ma non soddisfano la seconda condizione, come è facile verificare e non soddisfano nemmeno l'ultima semplicemente perché i limiti delle due successioni prese singolarmente non esistono.
Forse esistono controesempi più facili, ma al momento mi è venuto solo questo...
Ah, btw il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti, a patto che questi esistano (non come nell'esempio che ti ho dato io...)
in pratica per dimostrare che una risposta è falsa in generale devo cercare un esempio che la contraddica, e non uno che lo confermi.
Un'altra cosa volevo chiedere: $ 0*(+oo) $ e $ 0*(-oo) $ fanno $ 0 $ vero?
Grazie, mi hai aiutato molto!!
Un'altra cosa volevo chiedere: $ 0*(+oo) $ e $ 0*(-oo) $ fanno $ 0 $ vero?
Grazie, mi hai aiutato molto!!
Sì, si chiama "controesempio".
Credo che queste siano le forme indeterminate più famose della storia!
[tex]\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\cdot (n^2+1) = +\infty[/tex]
[tex]\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}\cdot (n+1) = 0[/tex]
[tex]\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\cdot(\alpha n+1) = \alpha[/tex]
per ogni numero reale [tex]\alpha\ne 0[/tex]. Direi che non sono molto determinate a priori, no?
"Salafairy":
Un'altra cosa volevo chiedere: $0*(+\infty)$ e $0*(-\infty)$ fanno $0$ vero?
Credo che queste siano le forme indeterminate più famose della storia!
[tex]\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\cdot (n^2+1) = +\infty[/tex]
[tex]\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}\cdot (n+1) = 0[/tex]
[tex]\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\cdot(\alpha n+1) = \alpha[/tex]
per ogni numero reale [tex]\alpha\ne 0[/tex]. Direi che non sono molto determinate a priori, no?
...grazie!!! Il fatto è che in materia ne so davvero poco!! speriam bene!
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