Prodotto cartesiano di insiemi aperti

[dragonspirit1]

Salve a tutti, come esercizio devo dimostrare che ogni insieme costruito nel seguente modo è aperto in R^2:
]a,b[x]c,d[ , a

dato che per ipotesi i due insiemi sono aperti e che graficamente mi viene da immaginare in R^2 questo insieme come un rettangolo in cui i lati non sono compresi mi sembra logico dedurre che sia aperto ma non riesco a formalizzare questo ragionamento.

Parto scrivendo che per ogni elemento del primo insieme ( lo chiamo x ) e per ogni elemento del secondo insieme ( lo chiamo y ) esiste una palla di raggio ripsettivamente $ xi $ e $ gamma $ completamente contenuta nei rispettivi intervalli di partenza ma da qua non riesco a formalizzare per l'elemento generico dell'insieme prodotto (che chiamo z).

avevo pensato di prendere una palla centrata nell'elemento z di raggio $ varphi $ con $ varphi $ < $ xi $ e $ varphi $ < $ gamma $ ma non so come dimostrare che è totalmente contenuta......
quacuno può aiutarmi?

[theras]

Forse ti sarebbe utile notare che $|x|+|y| ge sqrt(x^2+y^2)$ $AA x,y in RR$ :
saluti dal web.

[dragonspirit1]

il mio problema è la formalizzazione della dimostrazione

[theras]

E quella disuguaglianza è quanto ti manca nella strada da te intrapresa :
saluti dal web.