Prodotto alla Cauchy delle Serie

[Catanzani1]

Salve ragazzi, come da titolo, potreste per favore descrivermi di cosa si tratta ed a cosa server il prodotto di Cauchy delle serie di potenza e non?

Potreste anche farmi qualche esempio pratico?

Grazie davvero molto.

Saluti

Enrico Catanzani

[Noisemaker]

Date due serie $ \sum_{n=0}^\infty a_n$ e $ \sum_{n=0}^\infty b_n,$ posto $ c_n= \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}, $
chiameremo la serie $ \sum_{n=0}^\inftyc_n$ serie prodoto, secondo Cauchy, delle serie $ \sum_{n=0}^\infty a_n$ e $\sum_{n=0}^\infty b_n$

La definizione è motivata dal fatto che, prese ad esempio due serie geometriche $ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ e $ \sum_{n=0}^\infty b_n x^n,$ moltiplicando termine a termine e raccogliendo i termini con le stesse potenze di $x$ si ha:
\begin{align*}
&\left(a_0+a_1x+a_2x^2+....\right) \left(b_0+ b_1x+b_2x^2+....\right) \\
&=a_0b_0+\left(a_0b_1+a_1b_0\right)x+\left(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0\right)
x^2+.....\\
&=c_0+c_1x+c_2x^2+......
\end{align*}
da cui prendendo $x=1,$ si arriva alla definizione di prodotto.
In generale, può succedere che le serie $ \sum_{n=0}^\infty a_n$ e $ \sum_{n=0}^\infty b_n$ siano enrambe convergenti, ma il loro prodotto non lo sia: ad esempio la serie
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}=1-\frac{ 1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{ 1}{\sqrt{4}}+.....
\end{align*}
come sei verifica facilmente, converge semplicemente, ma non assolutamente, per il criterio di Leibniz, essendo infinitesimo e decrescente il termine generale della serie dei valori assoluti; formiamo il prodotto, secondo Cauchy, di questa serie per se stessa:
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty\,\,c_n=\sum_{k=0}^n\,\,a_kb_{n-k}&=\sum_{k=0}^n\,\,\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\cdot\frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}=\sum_{k=0}^n\,\,=\frac{(-1)^n}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\\
&=(-1)^n\sum_{k=0}^n\,\,\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}
\end{align*}
ed osservando che:
\begin{align*}
(k+1)(n-k+1) &= kn-k^2+n+1\\
&=kn-k^2+n^2-n^2+n+1\\
&=2kn-k^2-n^2+n^2-kn+n+1\\
&=-(k^2+n^2-2kn)+n^2-(1-k)n+1\\
&=(n^2+1)-(k-n)^2-(1-k)\\
&<(n^2+1)
\end{align*}
si ottenie:
\begin{align*}
\frac{1}{ \sqrt{(k+1)(n-k+1)} }>\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\sim\frac{1}{\sqrt{n^2 }}=\frac{1}{n}\to \text{diverge}
\end{align*}
e dunque per confronto la serie $\sum_{n=0}^\infty c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$ non può convergere.

Tuttavia sussiste un risultato dovuto a Mertens, che assicura che questa eventualità non si presenta, se almeno una delle due serie è assolutamente convergente.

(Criterio di Mertens)
[size=85]Sia $ \sum_{n=0}^{\infty}a_n$ una serie assolutamente convergente, e $ \sum_{n=0}^{\infty}b_n$ una serie convergente; allora la serie prodotto $ \sum_{n=0}^{\infty}c_n,$ risulta convergente, e risulta:
$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n=\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_n\right) $$

Si potrebbe dimostrare inoltre che,senza alcuna ipotesi sulla convergenza assoluta, se $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ e $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ sono convergenti, e se la serie prodotto $\sum_{n=0}^{\infty}c_n$ converge, allora necessariamente deve essere $$\sum_{n=0}^{\infty}c_n=\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_n\right)$$[/size]