Prodotti interni indotti
Vorrei chiedervi qual'è il teorema che afferma la non esistenza di prodotti interni indotti dalle norme $p in [1,+oo), p!=2$. Grazie
Risposte
Uso questi deu teoremi generali [dal Weidmann]
Th1 Se $ (f,g) $ e' un prodotto scalare su uno spazio V, allora $ ||f||=(f,f)^(1/2) $ definisce una norma su V.
Th2 (Jordan e von Neumann) Una norma $ ||.|| $ su uno spazio H e' generata da un prodotto scalare $ (.,.) $ nel senso del teorema Th1 se e solo se e' soddisfatta l'identita' del parallelogramma:
$ ||f+g||^2+||f-g||^2=2(||f||^2+||g||^2) $
. Se questo e' vero, allora il prodotto scalare e' dato da
$ (f,g)= 1/4(||f+g||^2-||f-g||^2+i||f-ig||^2-i||f+ig||^2" "mathbb(K)=mathbb(C) $
$ (f,g)= 1/4(||f+g||^2-||f-g||^2" "mathbb(K)=mathbb(R) $
Ora basta verificare che negli spazi $ L^p $ se l'identita' del parallelogramma sia soddisfatta oppure no.
Th1 Se $ (f,g) $ e' un prodotto scalare su uno spazio V, allora $ ||f||=(f,f)^(1/2) $ definisce una norma su V.
Th2 (Jordan e von Neumann) Una norma $ ||.|| $ su uno spazio H e' generata da un prodotto scalare $ (.,.) $ nel senso del teorema Th1 se e solo se e' soddisfatta l'identita' del parallelogramma:
$ ||f+g||^2+||f-g||^2=2(||f||^2+||g||^2) $
. Se questo e' vero, allora il prodotto scalare e' dato da
$ (f,g)= 1/4(||f+g||^2-||f-g||^2+i||f-ig||^2-i||f+ig||^2" "mathbb(K)=mathbb(C) $
$ (f,g)= 1/4(||f+g||^2-||f-g||^2" "mathbb(K)=mathbb(R) $
Ora basta verificare che negli spazi $ L^p $ se l'identita' del parallelogramma sia soddisfatta oppure no.
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