Prodotti infiniti
Cari "colleghi"...
sono alle prese con lo studio della convergenza di questo prodotto infinito:
$\prod_{n=2}^\infty (1+\frac{(-1)^n}{n^2})$ $(\star)$
Io procederei studiando la serie $\sum_{n=2}^\infty log(1+\frac{(-1)^n}{n^2})$, perchè ho studiato che condizione necessaria e sufficiente per cui il prodotto $(\star)$ converga è che questa serie converga. A questo punto quindi, mi rimarrebbe da studiare la convergenza di questa serie.
Ho provato con tutti i criteri, ma non so come procedere, per il fatto che ho termini sia positivi che negativi. Potreste darmi magari qualche suggerimento su come procedere?
Grazie
sono alle prese con lo studio della convergenza di questo prodotto infinito:
$\prod_{n=2}^\infty (1+\frac{(-1)^n}{n^2})$ $(\star)$
Io procederei studiando la serie $\sum_{n=2}^\infty log(1+\frac{(-1)^n}{n^2})$, perchè ho studiato che condizione necessaria e sufficiente per cui il prodotto $(\star)$ converga è che questa serie converga. A questo punto quindi, mi rimarrebbe da studiare la convergenza di questa serie.
Ho provato con tutti i criteri, ma non so come procedere, per il fatto che ho termini sia positivi che negativi. Potreste darmi magari qualche suggerimento su come procedere?
Grazie
Risposte
"Raphael":
Cari "colleghi"...
sono alle prese con lo studio della convergenza di questo prodotto infinito:
$\prod_{n=2}^\infty (1+\frac{(-1)^n}{n^2})$ $(\star)$
Io procederei studiando la serie $\sum_{n=2}^\infty log(1+\frac{(-1)^n}{n^2})$, perchè ho studiato che condizione necessaria e sufficiente per cui il prodotto $(\star)$ converga è che questa serie converga. A questo punto quindi, mi rimarrebbe da studiare la convergenza di questa serie.
Ho provato con tutti i criteri, ma non so come procedere, per il fatto che ho termini sia positivi che negativi. Potreste darmi magari qualche suggerimento su come procedere?
Grazie
bè basta notare che $(-1)^n/n^2$ è un infinitesimo di ordine 2. Dal limite notevole del logaritmo ricavi immediatamente che anche $log(1+\frac{(-1)^n}{n^2})$ è infinitesimo di ordine 2, allora la serie converge.
Uhm.... per quello che ho studiato in teoria, io sapevo che se una serie converge allora è vero che il lim dell'ennesimo termine tende a zero per n tendente a infinito, però non che se questo limite tende a zero allora la serie converge. Mi sono perso qualche passaggio?
"Raphael":
Uhm.... per quello che ho studiato in teoria, io sapevo che se una serie converge allora è vero che il lim dell'ennesimo termine tende a zero per n tendente a infinito, però non che se questo limite tende a zero allora la serie converge. Mi sono perso qualche passaggio?
No, non ti sei perso alcun passaggio! Effettivamente, ancora non sai se la serie converge! (potrebbe farlo, ma certo non lo determini così!)
Potresti suggerirmi quale strategia utilizzare per dimostrare la convergenza della serie? Sto miseramente tentando con i criteri del rapporto o del confronto....
provo a scrivere un'idea:
io so che $log (1+\frac{(-1)^n}{n^2})<=1+\frac{(-1)^n}{n^2}$
Ora dovrei dire che la serie di destra converge, se così fosse anche quella a sinistra converge. Quindi mi rimane da dimostrare che la serie $\frac{(-1)^n}{n^2}$ è convergente. Ma $a_n=\frac{1}{n^2}$ è decrescente infinitesima e quindi per il criterio delle serie alternate converge. Vero?
provo a scrivere un'idea:
io so che $log (1+\frac{(-1)^n}{n^2})<=1+\frac{(-1)^n}{n^2}$
Ora dovrei dire che la serie di destra converge, se così fosse anche quella a sinistra converge. Quindi mi rimane da dimostrare che la serie $\frac{(-1)^n}{n^2}$ è convergente. Ma $a_n=\frac{1}{n^2}$ è decrescente infinitesima e quindi per il criterio delle serie alternate converge. Vero?
Sì, ma se lo chiamassi criterio di Leibniz faresti più bella figura! 
Sì però invece non è vero che se $\frac{(-1)^n}{n^2}$ converge allora converge anche $1+\frac{(-1)^n}{n^2}$, c'è qualcosa che non mi torna! Help! 
Scusa.. è vero... quello si chiama criterio di Leibiniz...
Scusa.. è vero... quello si chiama criterio di Leibiniz...
Infatti la successione $a_n= 1+(-1)^n/n^2$ non è infinitesima, e la serie degli $a_n$ sicuramente non converge
A dire il vero potresti utilizzare
$\log(1+(-1)^n/n^2)<= (-1)^n/n^2$ per $n>=2$
[edit]: Non va bene nemmeno questa. Nonostante la serie $\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n/n^2$ sia convergente per Leibnitz, nessuno ti assicura che la serie di partenza sia convergente (può divergere negativamente).
A dire il vero potresti utilizzare
$\log(1+(-1)^n/n^2)<= (-1)^n/n^2$ per $n>=2$
[edit]: Non va bene nemmeno questa
. Nonostante la serie $\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n/n^2$ sia convergente per Leibnitz, nessuno ti assicura che la serie di partenza sia convergente (può divergere negativamente).
E se mettessimo qualche valore assoluto qui e là?
Insomma $-|x|<=x<=|x|$ quindi $log(1-|x|)<= log(1+x)<=log(1+|x|)$ e perciò:
$log(1-1/n^2)<=log(1+(-1)^n/n^2)<=log(1+1/n^2) \quad$;
d'altra parte esistono costanti $c_1,c_2>0$ tali che $log(1+1/n^2)<= c_2/n^2$ e $log(1-1/n^2)>=-c_1/n^2$, quindi:
$-c_1/n^2 <=log(1+(-1)^n/n^2)<=c_2/n^2 \quad$.
Concludere ora è facile.
Insomma $-|x|<=x<=|x|$ quindi $log(1-|x|)<= log(1+x)<=log(1+|x|)$ e perciò:
$log(1-1/n^2)<=log(1+(-1)^n/n^2)<=log(1+1/n^2) \quad$;
d'altra parte esistono costanti $c_1,c_2>0$ tali che $log(1+1/n^2)<= c_2/n^2$ e $log(1-1/n^2)>=-c_1/n^2$, quindi:
$-c_1/n^2 <=log(1+(-1)^n/n^2)<=c_2/n^2 \quad$.
Concludere ora è facile.
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