Processi di risoluzione degli esercizi
Ho aperto questo topic perchè ho bisogno di una mano nella comprensione dei processi di risoluzione degli esercizi:
1 - Calcolo di una funzione
2 - Determinazione dell'insieme di definizione di una funzione
3 - Calcolo di un limite
Partendo dal presupposto che la teoria l'ho studiata e so i teoremi applicabili, qual è la prima cosa da fare in questi esercizi?
Vi ringrazio infinitamente per le risposte.
1 - Calcolo di una funzione
2 - Determinazione dell'insieme di definizione di una funzione
3 - Calcolo di un limite
Partendo dal presupposto che la teoria l'ho studiata e so i teoremi applicabili, qual è la prima cosa da fare in questi esercizi?
Vi ringrazio infinitamente per le risposte.
Risposte
Io ho capito che nel calcolo di una funzione il primo passo è il campo d'esistenza.
Poi devo controllare tutte le caratteristiche della funzione: asintoti, pari/dispari, simmetrie possibili, monotonia eccetera.
E' giusto?
Poi devo controllare tutte le caratteristiche della funzione: asintoti, pari/dispari, simmetrie possibili, monotonia eccetera.
E' giusto?
In linea di massima sì, ma in generale l'approccio può cambiare in base alla funzione (è ciclica? è simmetrica?...)
Prova ad esempio a studiare la funzione
$f(x)=(e^x-1)/(x^2-x)$
e tracciane il grafico. Come ti comporti?
Prova ad esempio a studiare la funzione
$f(x)=(e^x-1)/(x^2-x)$
e tracciane il grafico. Come ti comporti?
Innanzitutto partirei dalla definizione del dominio e dallo studio del segno, ponendo:
$x^2-x != 0$
$(e^x-1)/(x^2-x) > 0$
La risolvo un secondo e ti posto tutto il procedimento, ma l'input iniziale è giusto?
$x^2-x != 0$
$(e^x-1)/(x^2-x) > 0$
La risolvo un secondo e ti posto tutto il procedimento, ma l'input iniziale è giusto?
Sì va bene
Vorrei creare una tabella per la risoluzione delle varie tipologie di esercizi inerenti ad Analisi I, a partire dallo studio di funzione. La tabella in questo caso si sviluppa in due colonne, da una parte la richiesta dell'esercizio e dall'altra il meccanismo di svolgimento. Allora, ad ora so:
Dominio - Visualizzazione dei punti in cui la funzione si conferma (per questo punto ho trovato questo link, vi sembra buono?).
Segno - Porre tutto il termine della funzione maggiore di zero.
Concavità e convessità - Studio della monotonia (concava - crescente | convessa - decrescente).
Monotonia - Derivata prima maggiore di zero.
Mi manca sicuramente il metodo per trovare i limiti agli estremi, l'asintoticità (qui ci sono delle regole che devo recuperare per l'individuazione di asintoti, verticali, orizzontali ed obliqui), il punto di flesso, eventuali zeri della funzioni ed eventuali estremi di f.
Potreste aiutarmi? Ve ne sarei enormemente grato.
Dominio - Visualizzazione dei punti in cui la funzione si conferma (per questo punto ho trovato questo link, vi sembra buono?).
Segno - Porre tutto il termine della funzione maggiore di zero.
Concavità e convessità - Studio della monotonia (concava - crescente | convessa - decrescente).
Monotonia - Derivata prima maggiore di zero.
Mi manca sicuramente il metodo per trovare i limiti agli estremi, l'asintoticità (qui ci sono delle regole che devo recuperare per l'individuazione di asintoti, verticali, orizzontali ed obliqui), il punto di flesso, eventuali zeri della funzioni ed eventuali estremi di f.
Potreste aiutarmi? Ve ne sarei enormemente grato.
"Mr.Mazzarr":
Vorrei creare una tabella per la risoluzione delle varie tipologie di esercizi inerenti ad Analisi I, a partire dallo studio di funzione. La tabella in questo caso si sviluppa in due colonne, da una parte la richiesta dell'esercizio e dall'altra il meccanismo di svolgimento.
L'idea di farsi degli schemi per studiare mi sembra buona, ma pensare di poter agire sempre nello stesso modo potrebbe creare qualche difficoltà. Personalmente trovo molto utile fare tanto esercizio, per poi trarre qualche conclusione generale.
"gio73":
L'idea di farsi degli schemi per studiare mi sembra buona, ma pensare di poter agire sempre nello stesso modo potrebbe creare qualche difficoltà. Personalmente trovo molto utile fare tanto esercizio, per poi trarre qualche conclusione generale.
Io ora sto innanzitutto studiando la teoria, che non ho mai arretrato durante i corsi. Ma ho l'esame tra un mese esatto, e trovo difficoltà nello svolgimento di esercizi perchè spesso noto che sono richieste regole di base che negli appunti della mia prof non ci sono.
Ad esempio ieri ho fatto alcuni studi di insieme di definizione di radici. Alcune radici pari, altre dispari.
Ho notato che funzioni che si differenziavano solo per la tipologia di radice pari o dispari avevano risultati diversi. A me servono queste regole di base qui, che nemmeno sul libro di Analisi I ci sono.
Sono di matematica di base? Dove potrei trovarle?
"Mr.Mazzarr":
Io ora sto innanzitutto studiando la teoria, che non ho mai arretrato durante i corsi. Ma ho l'esame tra un mese esatto, e trovo difficoltà nello svolgimento di esercizi perchè spesso noto che sono richieste regole di base che negli appunti della mia prof non ci sono.
cosa vuoi dire?
"Mr.Mazzarr":
Ad esempio ieri ho fatto alcuni studi di insieme di definizione di radici. Alcune radici pari, altre dispari.
Ho notato che funzioni che si differenziavano solo per la tipologia di radice pari o dispari avevano risultati diversi. A me servono queste regole di base qui, che nemmeno sul libro di Analisi I ci sono.
Sono di matematica di base? Dove potrei trovarle?
Non credo che potrò esserti di grande aiuto; personalmente non affronto la matematica pensando di ricordarmi regole, tanto ho poca memoria, mi tocca sempre fare un ragionamento. In relazione alle radici: se l'esponente è pari devo fare in modo che il radicando sia non negativo ($sqrt(-4)$ non c'è nessun reale il cui quadrato sia $-4$) per esponenti dispari nessun problema ($root(3)(-27)=-3$)
Voglio dire che settimana per settimana, durante i corsi da Settembre, ho sempre letto e riletto cosìcchè in se di preparazione d'esame nulla mi risultasse assolutamente nuovo e sconosciuto.
Sapresti per caso dirmi le formule base per trovare l'asintoticità orizzontale e verticale?
Sapresti per caso dirmi le formule base per trovare l'asintoticità orizzontale e verticale?
"Mr.Mazzarr":
Vorrei creare una tabella per la risoluzione delle varie tipologie di esercizi inerenti ad Analisi I, a partire dallo studio di funzione. La tabella in questo caso si sviluppa in due colonne, da una parte la richiesta dell'esercizio e dall'altra il meccanismo di svolgimento.
Questa del "meccanismo" è una cosa che devi toglierti dalla testa.
Seppure ci sono delle indicazioni di massima sulla priorità di alcune operazioni rispetto ad altre, non ci sono "schemi generali" in cui inquadrare gli esercizi.
Purtroppo, questa mentalità ve la portate dietro dalle superiori e non fate nulla per scrollarvela di dosso.
L'unico schema generale è: "leggo l'esercizio con attenzione; capisco la consegna; mi chiedo quali teoremi che conosco si possano applicare per fare ciò che devo fare; li applico; spero che tutto fili liscio".
Insomma, in un'unica parola: ragionare sul problema.
"Mr.Mazzarr":
Allora, ad ora so:
Dominio - Visualizzazione dei punti in cui la funzione si conferma (per questo punto ho trovato questo link, vi sembra buono?).
Segno - Porre tutto il termine della funzione maggiore di zero.
Concavità e convessità - Studio della monotonia (concava - crescente | convessa - decrescente).
Monotonia - Derivata prima maggiore di zero.
Hai un problema che ti chiede di studiare la funzione \(f(x)=\text{così e così}\).
Che cosa ti sta chiedendo il problema? Qual è la consegna?
In altri termini, che vuol dire "studiare la funzione \(f(x)\)"?
"Mr.Mazzarr":
Mi manca sicuramente il metodo per trovare i limiti agli estremi, l'asintoticità (qui ci sono delle regole che devo recuperare per l'individuazione di asintoti, verticali, orizzontali ed obliqui), il punto di flesso, eventuali zeri della funzioni ed eventuali estremi di f.
Che vuol dire "l'asintoticità"? (Davvero, che vuol dire? Non l'ho mai sentito come termine...)
Che vuol dire "calcolare i limiti agli estremi"?
Che cos'è un "punto di flesso"?
Che cos'è uno "zero di una funzione"?
Che cosa sono "gli estremi"?
Rispondi a queste domande; poi chiediti quali teoremi o nozioni della teoria sono applicabili alla risoluzione di ogni problema.
Gugo inizio col risponderti ai primi due quotes.
In realtà collegare l'analisi ad un meccanismo fa risultare più facile l'esecuzione di qualsiasi esercizio. O almeno così pare.
Al terzo quote rispondo fra poco.
In realtà collegare l'analisi ad un meccanismo fa risultare più facile l'esecuzione di qualsiasi esercizio. O almeno così pare.
Al terzo quote rispondo fra poco.
"gugo82":
Che vuol dire "l'asintoticità"? (Davvero, che vuol dire? Non l'ho mai sentito come termine...)
Che vuol dire "calcolare i limiti agli estremi"?
Che cos'è un "punto di flesso"?
Che cos'è uno "zero di una funzione"?
Che cosa sono "gli estremi"?
- Asintoticità è l'esistenza di asintoti verticali, orizzontali e/o obliqui. Pensavo si chiamasse così.
-Il punto di flesso è il punto in cui la funzione cambia di monotonia. Ad esempio in $ x^2 - 1 > 0 $ i punti di flesso dovrebbero essere -1 ed 1 in quanto la funzione è definita negli intervalli $ ]-oo, -1 ] U [1,+oo[$
- Lo zero di una funzione è l'intersezione con l'asse delle x. Considerando che l'esistenza di eventuali zero è una conseguenza diretta della monotonia e continuità della funzione ( per il teorema degli zeri, appunto ), allora credo che si debba trovare un f(c) in cui c corrisponde all'intersezione e per cui la funzione si annulla. Ma come si trova questa intersezione?
- Gli estremi credo siano gli estremi superiore ed inferiore di una funzione. Il primo è l'estremo superiore del codominio, il secondo del dominio. Solo che non so come calcolarli, non sono mica gli estremi dell'intervallo di definizione?
"Mr.Mazzarr":
Gugo inizio col risponderti ai primi due quotes.
In realtà collegare l'analisi ad un meccanismo fa risultare più facile l'esecuzione di qualsiasi esercizio. O almeno così pare.
Questa è una pia illusione, ovviamente.
A furia di pensare in maniera schematica, ci si fossilizza sempre nella stessa logica ed appena balza fuori un esercizio che esula dai canoni... Buonanotte!
"Mr.Mazzarr":
[quote="gugo82"]Che vuol dire "l'asintoticità"? (Davvero, che vuol dire? Non l'ho mai sentito come termine...)
Che vuol dire "calcolare i limiti agli estremi"?
Che cos'è un "punto di flesso"?
Che cos'è uno "zero di una funzione"?
Che cosa sono "gli estremi"?
- Asintoticità è l'esistenza di asintoti verticali, orizzontali e/o obliqui. Pensavo si chiamasse così.[/quote]
No, purtroppo non si chiama così.
"Esistenza di asintoti nel diagramma" si chiama.
"Mr.Mazzarr":
-Il punto di flesso è il punto in cui la funzione cambia di monotonia. Ad esempio in $ x^2 - 1 > 0 $ i punti di flesso dovrebbero essere -1 ed 1 in quanto la funzione è definita negli intervalli $ ]-oo, -1 ] U [1,+oo[$
Questo è falso.
Un punto di flesso per un diagramma è un punto in cui il diagramma cambia concavità.
Un punto in cui la funzione cambia monotonia è un punto di estremo relativo.
"Mr.Mazzarr":
- Lo zero di una funzione è l'intersezione con l'asse delle x. Considerando che l'esistenza di eventuali zero è una conseguenza diretta della monotonia e continuità della funzione ( per il teorema degli zeri, appunto ), allora credo che si debba trovare un f(c) in cui c corrisponde all'intersezione e per cui la funzione si annulla. Ma come si trova questa intersezione?
Anche questo è falso.
Dire che un punto \(c\) è uno zero di una funzione \(f\) equivale a dire che tale punto è un punto del dominio di \(f\) che risolve l'equazione \(f(x)=0\).
Che uno zero di una funzione sia l'ascissa di un punto in cui il diagramma del grafico di \(f\) interseca l'asse delle ascisse è un altro paio di maniche.
"Mr.Mazzarr":
- Gli estremi credo siano gli estremi superiore ed inferiore di una funzione. Il primo è l'estremo superiore del codominio, il secondo del dominio. Solo che non so come calcolarli, non sono mica gli estremi dell'intervallo di definizione?
Per estremi di una funzione si intendono l'estremo superiore (eventualmente il massimo) e l'estremo inferiore (eventualmente il minimo) dell'immagine della funzione, ossia i due elementi di \(\mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\) che avete convenuto di denotare coi simboli \(\sup_X f\) ed \(\inf_X f\) (ovviamente qui assumo che \(f:X\to \mathbb{R}\) e che \(X\) non sia vuoto).
"gugo82":
Questo è falso.
Un punto di flesso per un diagramma è un punto in cui il diagramma cambia concavità.
Un punto in cui la funzione cambia monotonia è un punto di estremo relativo.
Anche questo è falso.
Dire che un punto \(c\) è uno zero di una funzione \(f\) equivale a dire che tale punto è un punto del dominio di \(f\) che risolve l'equazione \(f(x)=0\).
Che uno zero di una funzione sia l'ascissa di un punto in cui il diagramma del grafico di \(f\) interseca l'asse delle ascisse è un altro paio di maniche.
Per estremi di una funzione si intendono l'estremo superiore (eventualmente il massimo) e l'estremo inferiore (eventualmente il minimo) dell'immagine della funzione, ossia i due elementi di \(\mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\) che avete convenuto di denotare coi simboli \(\sup_X f\) ed \(\inf_X f\) (ovviamente qui assumo che \(f:X\to \mathbb{R}\) e che \(X\) non sia vuoto).
Detto questo, come si individuano questi elementi nello studio di una funzione?
Che dice il libro? (Che libro usi?)
Quali teoremi sulle derivate conosci?
Sai risolvere le equazioni e disequazioni elementari (razionali, irrazionali, trigonometriche, esponenziali e logaritmiche)?
Se conosci questa roba hai tutti gli strumenti per capire come vanno le cose.
Basta che ti fermi e rifletti.
Posta un esempio e cominciamo a parlarne.
P.S.: Potrebbe essere utile andarti a riprendere sul libro anche la definizione di asintoto.
Quali teoremi sulle derivate conosci?
Sai risolvere le equazioni e disequazioni elementari (razionali, irrazionali, trigonometriche, esponenziali e logaritmiche)?
Se conosci questa roba hai tutti gli strumenti per capire come vanno le cose.
Basta che ti fermi e rifletti.
Posta un esempio e cominciamo a parlarne.
P.S.: Potrebbe essere utile andarti a riprendere sul libro anche la definizione di asintoto.
Uso il Marcellini - Sbordone.
Di teoremi sulle derivate conosco: Rolle, Lagrange, De L'Hopital ( I e II ), Formula di Taylor ( con resto di Peano e Lagrange ).
Equazioni e disequazioni elementari ok, le ho studiato tutta l'estate per il test attitudinale
Di teoremi sulle derivate conosco: Rolle, Lagrange, De L'Hopital ( I e II ), Formula di Taylor ( con resto di Peano e Lagrange ).
Equazioni e disequazioni elementari ok, le ho studiato tutta l'estate per il test attitudinale
"Mr.Mazzarr":
Uso il Marcellini - Sbordone.
Vecchio, spero...
"Mr.Mazzarr":
Di teoremi sulle derivate conosco: Rolle, Lagrange, De L'Hopital ( I e II ), Formula di Taylor ( con resto di Peano e Lagrange ).
Ok. Ma non sono quello che "serve" per lo studio della funzione.
I criteri di monotonia e di concavità (cioè i teoremi che legano la monotonia in un intervallo al segno della derivata prima e la concavità/convessità al segno della derivata seconda) li conosci?
"Mr.Mazzarr":
Equazioni e disequazioni elementari ok, le ho studiato tutta l'estate per il test attitudinale
Ok.
Allora degli zeri e dello studio del segno non devi preoccuparti più di tanto.
Ad ogni modo, cominciamo dalla base: che significa "studiare una funzione"?
No, credo sia la versione nuova del Marcellini - Sbordone.
Quei criteri sì, ma solo in linea teorica. In linea d'applicazione non ancora.
Cosa significa studiare una funzione?
Suppongo significhi trovare gli elementi caratterizzanti, ai fini della costruzione del grafico. Suppongo eh, ammetto la mia ignoranza da apprendista.
P.s.
Hai un mp.
Quei criteri sì, ma solo in linea teorica. In linea d'applicazione non ancora.
Cosa significa studiare una funzione?
Suppongo significhi trovare gli elementi caratterizzanti, ai fini della costruzione del grafico. Suppongo eh, ammetto la mia ignoranza da apprendista.
P.s.
Hai un mp.
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