Procedimento x soluzioni di ay''+by'+c = 0
Non riesco a capire una cosa nel procedimento per trovare l'integrale generale dell'equazione $ay''+by'+c = 0$.
Nel caso in cui le radici dell'equazione caratteristica $a \lambda^2 + b\lambda + c = 0$ sono complesse coniugate ($\lambda_1 = \alpha + i\beta$ e $\lambda_2 = \alpha + i\beta$), due soluzioni sono $e^((\alpha + i\beta)t)$ e $e^((\alpha - i\beta)t)$.
Il testo dice: "Poiché i coefficienti [di $az''+bz'+cz = 0$] sono reali, le parti reali e immaginarie di ciascuna di esse [delle due soluzioni scritte sopra] sono soluzioni reali". Non ho capito che significa e perché è vero.
Forse per il principio di sovrapposizione? Perché se
$e^((\alpha + i\beta)t) = e^\alpha cos \beta t + i e^\alphasin \beta t$ e
$e^((\alpha - i\beta)t )= e^\alpha cos \beta t + i e^\alphasin \betat$,
sommando membro a membro e dividendo a metà ottengo che sono soluzioni anche la loro semisomma $e^\alpha sin \beta t$ (parte immaginaria) e la loro semidifferenza $e^\alpha cos \betat$ (parte reale). Ma non ho usato l'ipotesi "poiché i coefficienti sono reali". Inoltre non capisco in che senso la parte immaginaria è intesa come "soluzione reale". Forse senza la $i$?
Grazie mille a chi mi illuminerà
Nel caso in cui le radici dell'equazione caratteristica $a \lambda^2 + b\lambda + c = 0$ sono complesse coniugate ($\lambda_1 = \alpha + i\beta$ e $\lambda_2 = \alpha + i\beta$), due soluzioni sono $e^((\alpha + i\beta)t)$ e $e^((\alpha - i\beta)t)$.
Il testo dice: "Poiché i coefficienti [di $az''+bz'+cz = 0$] sono reali, le parti reali e immaginarie di ciascuna di esse [delle due soluzioni scritte sopra] sono soluzioni reali". Non ho capito che significa e perché è vero.
Forse per il principio di sovrapposizione? Perché se
$e^((\alpha + i\beta)t) = e^\alpha cos \beta t + i e^\alphasin \beta t$ e
$e^((\alpha - i\beta)t )= e^\alpha cos \beta t + i e^\alphasin \betat$,
sommando membro a membro e dividendo a metà ottengo che sono soluzioni anche la loro semisomma $e^\alpha sin \beta t$ (parte immaginaria) e la loro semidifferenza $e^\alpha cos \betat$ (parte reale). Ma non ho usato l'ipotesi "poiché i coefficienti sono reali". Inoltre non capisco in che senso la parte immaginaria è intesa come "soluzione reale". Forse senza la $i$?
Grazie mille a chi mi illuminerà
Risposte
da qui $ y''(x)+ay'(x)+by(x)=0 $
allora l'equazione caratteristica ha due soluzioni complesse coniugate
$ { ( \lambda_1=(-a+i\sqrt(-\Delta))/(2)=\alpha+i\beta ),( \lambda_2=(-a-i\sqrt(-\Delta))/(2)=\alpha-i\beta ):} $
ove si è posto $ { ( \alpha=-a/2 ),( \beta=\sqrt(-\Delta)/(2) ):} $
quindi le funzioni
$ z_(1)(x)=\exp((\alpha+i\beta)x)=\exp(\alphax)\cdot \exp(i\betax)=\exp(\alphax)(\cos\betax+i\sin\betax) $
$ z_(1)(x)=\exp((\alpha-i\beta)x)=\exp(\alphax)\cdot \exp(-i\betax)=\exp(\alphax)(\cos\betax-i\sin\betax) $
(formula di Eulero)
sono soluzioni a valori complessi dell'equazione differenziale
Quindi le funzioni
$ y_(1)(x)=(z_1(x)+z_2(x))/(2)=\exp(\alphax)\cos\betax $
$ y_(2)(x)=(z_1(x)-z_2(x))/(2i)=\exp(\alphax)\sin\betax $
sono soluzioni a valori reali dell'equazione differenziale
e quindi si ha
$ y(x)=(c_1\cos\betax+c_2\sin\betax)\exp(\alphax) $
allora l'equazione caratteristica ha due soluzioni complesse coniugate
$ { ( \lambda_1=(-a+i\sqrt(-\Delta))/(2)=\alpha+i\beta ),( \lambda_2=(-a-i\sqrt(-\Delta))/(2)=\alpha-i\beta ):} $
ove si è posto $ { ( \alpha=-a/2 ),( \beta=\sqrt(-\Delta)/(2) ):} $
quindi le funzioni
$ z_(1)(x)=\exp((\alpha+i\beta)x)=\exp(\alphax)\cdot \exp(i\betax)=\exp(\alphax)(\cos\betax+i\sin\betax) $
$ z_(1)(x)=\exp((\alpha-i\beta)x)=\exp(\alphax)\cdot \exp(-i\betax)=\exp(\alphax)(\cos\betax-i\sin\betax) $
(formula di Eulero)
sono soluzioni a valori complessi dell'equazione differenziale
Quindi le funzioni
$ y_(1)(x)=(z_1(x)+z_2(x))/(2)=\exp(\alphax)\cos\betax $
$ y_(2)(x)=(z_1(x)-z_2(x))/(2i)=\exp(\alphax)\sin\betax $
sono soluzioni a valori reali dell'equazione differenziale
e quindi si ha
$ y(x)=(c_1\cos\betax+c_2\sin\betax)\exp(\alphax) $
"21zuclo":
Quindi le funzioni
y1(x)=z1(x)+z2(x)2=exp(αx)cosβx
y2(x)=z1(x)−z2(x)2i=exp(αx)sinβx
sono soluzioni a valori reali dell'equazione differenziale
Fantastico, adesso ho capito
Ti ringrazio moltissimo!
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