Procedimento rigoroso definizione integrale di superficie

[Sk_Anonymous]

Salve, il mio libro di Analisi e la mia prof, quando hanno dato la definizione di integrale di superficie, si sono limitati ad una definizione "euristica", tralasciando quella vera e propria. Io vorrei dunque sapere il procedimento rigoroso che si fa (come per l'integrale di Riemann e l'integrale doppio) per arrivare a definire l'integrale di superficie.
Gradirei che mi fosse suggerita qualche dispensa online.
Grazie mille.

[Luca.Lussardi]

Il modo più rigoroso per parlare di integrali di superficie è quello di premettere la teoria della misura di Hausdorff al calcolo degli integrali multipli. Con questa teoria alle spalle tutto diventa una "facile" conseguenza. Puoi trovare questo modo di procedere qui: http://www.dmf.unicatt.it/~degiova/down ... pense.html andando sulle note di Analisi II.

[Sk_Anonymous]

"Luca.Lussardi":Il modo più rigoroso per parlare di integrali di superficie è quello di premettere la teoria della misura di Hausdorff al calcolo degli integrali multipli. Con questa teoria alle spalle tutto diventa una "facile" conseguenza. Puoi trovare questo modo di procedere qui: http://www.dmf.unicatt.it/~degiova/down ... pense.html andando sulle note di Analisi II.

Ciao, ho dato un'occhiata a quelle note e mi sono perso subito. Forse è meglio rimandare a tempi migliori.
Comunque, quello che mi interessa dell'integrale di superficie è il suo significato geometrico.
Per caso l'integrale di superficie rappresenta il volume compreso fra una certa funzione di due variabili e una superficie?
Grazie mille.

[dissonance]

Secondo me ti conviene ragionare alla maniera urang-utang. Un integrale di superficie

\[\iint_S f(y)dS\]

è la "somma" dei valori di \(f\) assunti nel punto \(y\) moltiplicata per l' "elemento di superficie" \(dS\) in \(y\). Questa interpretazione intuitiva poi si può formalizzare in varie maniere che puoi trovare sulle dispense di Luca oppure anche sui libri di geometria (che usano un approccio diverso, o almeno credo: manco io ho mai studiato queste cose). E' tutta roba piuttosto pesante, ma anche solo ragionando intuitivamente puoi andare parecchio lontano.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":Secondo me ti conviene ragionare alla maniera urang-utang. Un integrale di superficie

\[\iint_S f(y)dS\]

è la "somma" dei valori di \(f\) assunti nel punto \(y\) moltiplicata per l' "elemento di superficie" \(dS\) in \(y\). Questa interpretazione intuitiva poi si può formalizzare in varie maniere che puoi trovare sulle dispense di Luca oppure anche sui libri di geometria (che usano un approccio diverso, o almeno credo: manco io ho mai studiato queste cose). E' tutta roba piuttosto pesante, ma anche solo ragionando intuitivamente puoi andare parecchio lontano.

Ciao, si hai ragione, io ho bisogno soltanto di una definizione intuitiva. Da quello che ho capito, il concetto di flusso di un campo vettoriale e di integrale di superficie sono nati dalla Fisica, ed in particolare dalla fluidodinamica.
Allora, spero di dire cose corrette.
Supponiamo di avere una funzione di tre variabili definita in un sottoinsieme dello spazio e consideriamo una superficie inclusa nel dominio di $f$. Una superficie è di solito descritta da funzioni del tipo $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, con $u$ e $v$ parametri che variano in un certo insieme. Ora io posso "restringere" la funzione di tre variabili $f(x,y,z)$ alla superficie, ottenendo $f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, che è una funzione di due variabili. Se ora vado a rappresentare graficamente $f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ e $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ ho chiaramente due superfici, definite sullo stesso dominio. Mi posso allora chiedere a quanto ammonta il volume compreso tra queste due superfici giusto?
Quindi il mio obiettivo è trovare un modo per calcolare tale volume. Attraverso dei procedimenti che non conosco (vado ad intuito), si definisce tale volume come "limite per $n->+oo$ di un qualche cosa". A questo punto si "scopre" che tale volume, cioè tale limite, si può calcolare più semplicemente risolvendo un particolare integrale doppio. Quindi si dà la definizione di integrale di superficie come un integrale doppio, analogamente a quanto fa il mio testo.
E' corretto quello che ho scritto?
L'integrale di superficie rappresenta geometricamente il volume compreso tra il grafico di una funzione di $u$ e $v$ e una superficie qualunque definita da $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$?
Insomma, l'integrale di superficie sta all'integrale doppio come l'integrale di linea di prima specie sta all'integrale di Riemann?
Grazie.

[dissonance]

Ma lascia stare questo "volume". A scuola ci dicono che l'integrale è "l'area sotto la curva", e insistono e insistono. Fanno male ad insistere così. Quella interpretazione va bene solo per funzioni di una variabile, dopodiché diventa rapidamente fuorviante. L'integrale di superficie, IMHO, non si interpreta tanto geometricamente quanto fisicamente. Come flusso, specialmente. Un integrale di flusso è una misura media della "quantità di campo" che sfugge attraverso una superficie: questo è un ottimo metodo di visualizzazione. Se parliamo di quantità scalari allora l'integrale di superficie si può sempre interpretare come media, per esempio (parlando di superfici di area finita, quelle che ci interessano di più) osservando che

\[\text{Media di }f\text{ su }S=\frac{1}{\text{Area}(S)}\iint_S f(y)dS.\]

In questo senso l'integrale di superficie è una statistica del comportamento della funzione sulla superficie assegnata. (Altre interpretazioni particolarmente vivide ci sono su Lectures on Physics di Feynman, secondo volume).

Comunque, le tue considerazioni sono OK, specialmente questa:

Insomma, l'integrale di superficie sta all'integrale doppio come l'integrale di linea di prima specie sta all'integrale di Riemann?

[Sk_Anonymous]

Ciao dissonance, ti ringrazio. Io parlo di volume perchè il libro mi presenta l'integrale di superficie come una naturale evoluzione di quello doppio, il quale è stato definito come volume compreso tra il grafico di $f(x,y)$ ed il piano su cui $f$ è definita.