Procedimento per trovare punti critici
ciao a tutti
Sono alle prese con degli esercizi sulla ricerca dei punti critici di funzioni.
Ho visto degli esercizi molto semplici, dove lo studio è veramente veloce ed intuitivo.
Mi sono imbattuto invece in due esercizi (a mio parere, ma non sono un genio
) più difficilotti, vi scrivo il primo:
$f(x,y)=(y-x^2)(y-4x^2)(y-1)^2$
come un mulo ho fatto le moltiplicazioni trovando:
$4x^4+4x^4y^2-8x^4y+y^4-2y^3-5x^2y^3+y^2+10x^2y^2-4x^2y$
e calcolo successivamente le derivate in x e y, doppie e miste.
Non sono neanche a metà esercizio ed è passato già un bel po di tempo;
Adesso mi chiedo, possibile che debba fare tutte queste operazioni per trovare i punti critici, oppure non mi rendo conto che posso fare delle semplificazioni che mi agevolano i calcoli?
...per uno come me, lento, e che fa tutti i conti, è chiaro che non basterebbero 2 ore per svolgere un solo esercizio simile...
Sono alle prese con degli esercizi sulla ricerca dei punti critici di funzioni.
Ho visto degli esercizi molto semplici, dove lo studio è veramente veloce ed intuitivo.
Mi sono imbattuto invece in due esercizi (a mio parere, ma non sono un genio
) più difficilotti, vi scrivo il primo:$f(x,y)=(y-x^2)(y-4x^2)(y-1)^2$
come un mulo ho fatto le moltiplicazioni trovando:
$4x^4+4x^4y^2-8x^4y+y^4-2y^3-5x^2y^3+y^2+10x^2y^2-4x^2y$
e calcolo successivamente le derivate in x e y, doppie e miste.
Non sono neanche a metà esercizio ed è passato già un bel po di tempo;
Adesso mi chiedo, possibile che debba fare tutte queste operazioni per trovare i punti critici, oppure non mi rendo conto che posso fare delle semplificazioni che mi agevolano i calcoli?
...per uno come me, lento, e che fa tutti i conti, è chiaro che non basterebbero 2 ore per svolgere un solo esercizio simile...
Risposte
Nooo, non svolgere il prodotto!!! Così non ne esci più. 
Perché per derivare non usi la regola di Leibnitz? Per esempio:
[tex]\dfrac{\partial f}{\partial x}=(y-4x^2)\dfrac{\partial}{\partial x} (y-x^2)+(y-x^2)\dfrac{\partial}{\partial x}(y-4x^2)[/tex]
Fai prima, no?
Perché per derivare non usi la regola di Leibnitz? Per esempio:
[tex]\dfrac{\partial f}{\partial x}=(y-4x^2)\dfrac{\partial}{\partial x} (y-x^2)+(y-x^2)\dfrac{\partial}{\partial x}(y-4x^2)[/tex]
Fai prima, no?
Ma, tera tera, è la derivata del prodotto di due funzioni no?
Bene, e quando devo derivare in $d_y$, cioè quando c sono più di due funzioni, come faccio?
Bene, e quando devo derivare in $d_y$, cioè quando c sono più di due funzioni, come faccio?
Regola di Leibnitz è un altro nome per quella che tu hai chiamato "derivata del prodotto di due funzioni". Quando ce ne sono di più si applica alla stessa maniera:
$D(f*g*h)=D(f)*g*h+f*D(g)*h+f*g*D(h)$ (vedi qui per ulteriori informazioni).
$D(f*g*h)=D(f)*g*h+f*D(g)*h+f*g*D(h)$ (vedi qui per ulteriori informazioni).
In effetti applicando la regola di Leibniz è molto più semplice, grazie!
posto il sistema per la ricerca de punti che annullano le derivate prime:
${ (f_x=0) ,(f_y=0 ):} { ( x(16x^2-10y)=0) ,((y-1)^2(2y-5x^2)+(y-x^2)(y-4x^2)(2y-2)=0 ):}$
- primo punto $(0,1)$
mi aiutate a trovare gli altri?
grazie
Carmelo
posto il sistema per la ricerca de punti che annullano le derivate prime:
${ (f_x=0) ,(f_y=0 ):} { ( x(16x^2-10y)=0) ,((y-1)^2(2y-5x^2)+(y-x^2)(y-4x^2)(2y-2)=0 ):}$
- primo punto $(0,1)$
mi aiutate a trovare gli altri?
grazie
Carmelo
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