Problma convergenza con questa serie?

[Giugi921]

Salve a tutti, avrei un problema con questa serie : $ sum_(n = \1) (3n+1)^n/(n!)*x^(5n) $ (la somma va da 1 a $ +oo $ ) ; mi viene richiesto per quali $ x in \R $ conclude il criterio del rapporto dell'ordine di infinitesimo. Io ho proceduto in questo modo: ho utilizzato il criterio del rapporto: $ lim_(n -> oo) |(3(n+1)+1)^(n+1)/((n+1)!)*x^(5n+1)|/(|((3n+1)^n)/(n!)*x^(5n)| $ e facendo vari passaggi ho ottenuto questo: $ |((3n+4)^(n+1)*x)/((n+1)(3n+1)^n)| $ il problema è che non so più come andare avanti, dal momento che non posso semplificare più nulla! avrei davvero bisogno del vostro aiuto!
Grazie.

[Noisemaker]

\begin{align}
\frac{(3n+4)^{n+1}}{(n+1)(3n+1)^n}\cdot |x|&=\frac{(3n+4)^{n }(3n+4)}{(n+1)(3n+1)^n}\cdot |x|=\left(\frac{3n+4 }{ 3n+ 1}\right)^n\cdot\frac{3n+4}{n+1}\cdot |x|=\exp\left[n\ln\left(\frac{3n+4 }{ 3n+ 1}\right) \right]\cdot\frac{3n+4}{n+1}\cdot |x|\\
&\sim\exp\left[n \left(\frac{3n+4 }{ 3n+ 1}-1\right) \right]\cdot3\cdot |x|\sim\exp\left[n \left(\frac{3}{ 3n+ 1} \right) \right]\cdot3\cdot |x|=3e|x|
\end{align}

ora però bisogna discutere il risultato del limite...

[gugo82]

Occhio che:
\[
|a_{n+1}| = \frac{(3(n+1)+1)^{n+1}}{(n+1)!} |x^{5(n+1)}| = \frac{(3n+4)^{n+1}}{(n+1)!} |x|^{5n+5}\ \ldots
\]

[Noisemaker]

...mi ero fidato dei conti che ha fatto ...

[Giugi921]

"Noisemaker":...mi ero fidato dei conti che ha fatto ...

scusate per l'errore di calcolo grazie, mi siete stati utilissimi, solo non ho capito bene ancora una cosa.. come mai, dopo il passaggio all'esponenziale, hai tolto il $ ln $ e hai messo un $-1$ ?