Problemino con limite notevole per $x->+- oo$
Salve a tutti,
sto cercando di risolvere questo limite per x->+-inf:
$lim (x^3+x^4)^(1/3)-x^(4/3)$ .
Ora il libro lo risolve raccogliendo $ x^(4/3) $ e gli esce (?) $ x^(4/3)((1+1/x)^(1/3)-1) $
ed usa il limite notevole.
Il mio dubbio è perchè può usare questo limite notevole? non si può usare solo quando x->0 ?
sto cercando di risolvere questo limite per x->+-inf:
$lim (x^3+x^4)^(1/3)-x^(4/3)$ .
Ora il libro lo risolve raccogliendo $ x^(4/3) $ e gli esce (?) $ x^(4/3)((1+1/x)^(1/3)-1) $
ed usa il limite notevole.
Il mio dubbio è perchè può usare questo limite notevole? non si può usare solo quando x->0 ?
Risposte
$lim_(y -> 0) (( 1 + y )^k - 1)/y = k$
o, con il cambio di variabile $y = 1/x$:
$lim_(x -> +oo) x (( 1 + 1/x )^k - 1) = k$
o, con il cambio di variabile $y = 1/x$:
$lim_(x -> +oo) x (( 1 + 1/x )^k - 1) = k$
perdonami la "bestemmia matematica" ma quindi per cambiare da 0 a +inf basta effettuare il cambio di variabile?
Esatto.
Grazie!
ciao, scusami se riesumo il problema ma ho incontrato un altro esercizio in cui sfrutta ancora un limite notevole per $x->0$ nonostante sia da calcolare per $x->+oo$ :
$x->+oo$
$x(e^((x+5)/(3x-2))-e^(1/3))$ ovviamente procede raccogliendo per $e^(1/3)$ e poi semplicemente usa il limite notevole ma non effettua nessun cambio di variabile! (o sono io che non lo vedo?)
(dopo procede con $xe^(1/3)((x+5)/(3x-2)-1/3)$)
Grazie ancora
$x->+oo$
$x(e^((x+5)/(3x-2))-e^(1/3))$ ovviamente procede raccogliendo per $e^(1/3)$ e poi semplicemente usa il limite notevole ma non effettua nessun cambio di variabile! (o sono io che non lo vedo?)
(dopo procede con $xe^(1/3)((x+5)/(3x-2)-1/3)$)
Grazie ancora
Forse ho trovato! operando la sostituzione di $x$ con $1/x$ e ponendo $t=1/x$ si ottiene $t->+oo (e^t-1)/t=1$ e quindi il limite notevole è valido anche per $x->+oo$ giusto?
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